2023年山西大同中考数学真题及答案

第Ⅰ卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.计算

()()13-⨯-的结果为（）．A.3 B.13 C.3- D.4

-2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A. B. C. D.

3.下列计算正确的是（

）A.236a a a ⋅= B.()2236a b a b -=- C.632a a a ÷= D.()326

a a =4.山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到14亿千瓦时，同比增长18.55%．数据14亿千瓦时用科学记数法表示为（）

A.81.410⨯千瓦时

B.81410⨯千瓦时

C.111.410⨯千瓦时

D.121.410⨯千瓦时

5.如图，四边形ABCD 内接于,,O AC BD 为对角线，BD 经过圆心O ．若40BAC ∠︒=，则DBC ∠的度数为（）

B.50︒

C.60︒

D.70︒

6.一种弹簧秤最大能称不超过10kg 的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm ，每挂重1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度()cm y 与所挂物体的质量()kg x 之间的函数关系式为（）

A.120.5y x =-

B.120.5y x =+

C.100.5y x =+

D.0.5y x

=7.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P ，点F 为焦点．若1155,230∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（）

A.45︒

B.50︒

C.55︒

D.60︒

8.已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c --都在反比例函数4y x

=的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）

B.b a c <<

C.c b a <<

D.c a b

<<9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A ，曲线终点为B ，过点,A B 的两条切线相交于点C ，列车在从A 到B 行驶的过程中转角α为60︒．若圆曲线的半径 1.5km OA =，则这段圆曲线 AB 的长为（）．

A.km 4π

B.km 2π

C.3km 4π

D.3km 8

π10.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点,,P Q M 均为正六边形的顶点．若点,P Q 的坐标

分别为()(),0,3--，则点M 的坐标为（）

A.()2-

B.()2

C.(2,-

D.(2,--第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.12.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有__________个白色圆片（用含n 的代数式表示）

13.如图，在ABCD Y 中，60D ∠=︒．

以点B 为圆心，以BA 的长为半径作弧交边BC 于点E ，连接AE ．分

别以点,A E 为圆心，以大于12

AE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AE 于点O ，交边AD 于点F ，则OF OE 的值为__________．

14.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________．

15.如图，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（1）计算：()2

1183522-⎛⎫-⨯---+⨯ ⎪⎝⎭

；（2）计算：()22(1)4x x x x +++-．17.解方程：131122

x x +=--．18.为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报

名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按442∶∶的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图选手测试成绩/分

总评成绩/分

采访

写作摄影小悦

83728078小涵8684▲▲

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；

（2）请你计算小涵的总评成绩；

（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．

19.风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A 部件和3个B 部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A 部件和2个B 部件的总质量为2.8吨，2个A 部件和3个B 部件的质量相等．

（1）求1个A 部件和1个B 部件的质量各是多少；

（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？

20.2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC 和AB 的长度（结果精确到0.1m ．参考3 1.73≈2 1.41≈）．

课

题

母亲河驳岸的调研与计算

调

查

方

式

资料查阅、水利部门走访、实地查看了解

功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物

驳岸

剖面

图相关数据及说明，图中，点A ，B ，C ，D ，E 在同一竖直平面内，

AE 与CD 均与地面平行，岸墙AB AE ⊥于点A ，135BCD ∠=︒，60EDC ∠=︒，6m ED =， 1.5m AE =，3.5m

CD =计算

结果

交

流

展

示

21.阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1，在四边形ABCD 中，点,,,E F G H 分别是边,,AB BC CD ，DA 的中点，顺次连接,,,E F G H ，得到的四边形EFGH 是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁

()16541722Varingnon Pierre ，

－是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2，连接AC ，分别交,EH FG 于点,P Q ，过点D 作DM

AC ⊥于点M ，交HG 于点N ．∵,H G 分别为,AD CD 的中点，∴1,2

HG AC HG AC =∥．（依据1）

∴DN DG NM GC =．∵DG GC =，∴12

DN NM DM ==．∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形，∴HE GF ∥，即HP GQ ∥．

∵HG AC ∥，即HG PQ ∥，

∴四边形HPQG 是平行四边形．（依据2）∴12

HPQG S HG MN HG DM =⋅=

⋅ ．∵12ADC S AC DM HG DM =

⋅=⋅△，∴12HPQG ADC S S = △．同理，…任务：

（1）填空：材料中的依据1是指：_____________．

依据2是指：_____________．

（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形

EFGH 为矩形；

（要求同时画出四边形ABCD 的对角线）（3）在图1中，分别连接,AC BD 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线,AC BD 长度的关系，并证明你的结论．

22.问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC 和DFE △，其中90,ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠．将ABC 和

DFE △按图2所示方式摆放，

其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．

（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；

（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在ABC 内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE BAC ∠=∠时，过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBE BAC ∠=∠时，过点A 作AH DE ⊥于点H ，若9,12BC AC ==，求AH 的长．请你思考此问题，直接写出结果．

23.如图，二次函数24y x x =-+的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点()1,3B ，与y 轴交于点C ．

（1）求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；

（2）点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE x ⊥轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当12

PD OC =时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．

第Ⅰ卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】B

【9题答案】

【答案】B

【10题答案】

【答案】A

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

【11题答案】

【答案】﹣1

【12题答案】

【答案】()

22n +【13题答案】

【14题答案】【答案】16

【15题答案】

【答案】3三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

【16题答案】

【答案】（1）1；（2）221

x +【17题答案】【答案】3

2

x =【18题答案】

【答案】（1）69，69，70

（2）82分

（3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析【19题答案】

【答案】（1）一个A 部件的质量为1.2吨，一个B 部件的质量为0.8吨

（2）6套

【20题答案】

【答案】BC 的长约为1.4m,AB 的长约为4.2m ．

【21题答案】

【答案】（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）

（2）答案不唯一，见解析

（3）平行四边形EFGH 的周长等于对角线AC 与BD 长度的和，见解析

【22题答案】

【答案】（1）正方形，见解析

（2）①AM BE =，见解析；②

275

【23题答案】【答案】（1）4y x =-+，点C 的坐标为()

0,4（2）①2或3或5172；②25924S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，S 的最大值为94