完整)高等数学考试题库(附答案)

高数》试卷1（上）

一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。

1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。

A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnx

B）f(x)=|x|和g(x)=x^2

C）f(x)=x和g(x)=x^2/x

D）f(x)=2|x|和g(x)=1/x

答案：A

2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。

A）1

B）0

C）-1

D）2

答案：A

3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。

A）y=x-1

B）y=-(x+1)

C）y=(lnx-1)(x-1)

D）y=x

答案：C

4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。

A）连续且可导

B）连续且可微

C）连续不可导

D）不连续不可微

答案：A

5.点x=0是函数y=x的（）。

A）驻点但非极值点

B）拐点

C）驻点且是拐点

D）驻点且是极值点

答案：A

6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。

A）只有水平渐近线

B）只有垂直渐近线

C）既有水平渐近线又有垂直渐近线

D）既无水平渐近线又无垂直渐近线

答案：B

7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。

A）f(1/x)+C

B）-f(x)+C

C）f(-1/x)+C

D）-f(-x)+C

答案：C

8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。

A）arctan(e^x)+C

B）arctan(e^(-x))+C

C）ex-e^(-x)+C

D）ln(ex+e^(-x))+C

答案：D

9.下列定积分为零的是（）。

A）∫π/4^π/2 sinxdx

B）∫0^π/2 xarcsinxdx

C）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dx

D）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx

答案：A

10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。

A）f(1)-f(0)

B）f(2)-f(0)

C）f(1)-f(2)

D）f(2)-f(1)

答案：B

二．填空题（每题4分，共20分）。

1.设函数f(x)=e^(-2x-1)，x≠0，x在x=0处连续，则a=1.

2.已知曲线y=f(x)在x=2处的切线的倾斜角为π/4，则f'(2)=1.

3.y=x^2/(x+1)的垂直渐近线有1条。

4.∫(x^3+2x)/(x^2+1)dx=∫(x-1)dx+∫(x^2+1)/(x^2+1)dx。

5.设y=f(x)是由y=x^3-x^2+x-1旋转一周所得到的曲线，则∫f(x)dx=∫(x^3-x^2+x-1)dx/2π。

1.B 2.C 3.A 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C

二。填空题

1.1/2 2.1/3 3.2ln|x+1|-2ln|x-1| 4.arctan(x+1)+C 5.2/3

三。计算题

1.(1) e^2 (2) 1/6

2.y' = 1/(x+y-1)

3.(1) 1/2ln|x+1| - 1/2ln|x-3| + C (2) ln|x^2-a^2|+ln|x+a|+C (3) -e^-x(x+2)+C

四。应用题

1.略

2.S = 5/2

一.改错题

6.以下结论正确的是(B)函数y=f(x)导数不存在的点，一定不是函数y=f(x)的极值点。

7.设函数y=f(x)的一个原函数为xe，则f(x)=(B)2x-e。

8.若∫f(x)dx=F(x)+c，则∫sinx f(cosx)dx=(B)-F(sinx)+c。

9.设F(x)为连续函数，则∫(f(1)-f(x))/x dx=(C)2(f(2)-f(1))。

10.定积分∫b a dx (a二.填空题

1.设f(x)=(1-cosx)/(x^2),在x=0处连续，则a=2.

2.设y=sinx，则dy/dx=cosx。

3.函数y=x/(x^2-1)的水平和垂直渐近线共有2条。

4.不定积分xlnxdx=xlnx-x+C。

5.定积分∫(-1)^1 dx/(x^2sinx+1)=π/2.

三.计算题

1.求下列极限：

①lim(1+2x)π/2

lim(1+2x)(π/4)/(xπ/4)

2π/π=2

②limx→+∞(1/x-arctanx)

limx→+∞(1-xarctanx)/(x^2(1+arctan^2x))

limx→+∞(1-arctanx/x)/(x(1+arctan^2x))

0/∞=0

2.由y=1-xe得e=1-y/x，对两边求导可得：

de/dx=-y/x^2

代入e=1-y/x，得y'=-x/(x-y)。

3.求下列不定积分：

①tanxsec^3xdx=-1/2secx+C

②∫ydx=1/2ln(x^2+a^2)+C

③∫x^2exdx=x^2ex-2xex+2ex+C

四.应用题

1.已知f(x)在[0,2π]上连续，且∫0^2πf(x)dx=π，则∫0^πf(x)dx=π/2.

证明：由于f(x)在[0,2π]上连续，故f(x)在[0,π]和[π,2π]上也连续。则有：

0^2πf(x)dx=∫0^πf(x)dx+∫π^2πf(x)dx

由于∫0^2πf(x)dx=π，故有：

0^πf(x)dx=π/2-∫π^2πf(x)dx

又因为f(x)在[π,2π]上连续，故存在c∈[π,2π]，使得∫π^2πf(x)dx=2πf(c)。代入上式可得：

0^πf(x)dx=π/2-2πf(c)

由于f(x)在[0,2π]上连续，故f(c)也存在，故∫0^πf(x)dx存在。因此，证毕。

1.作出函数y=(2/3)x-x的图像（表格如下）。

x | y

3 | 2

2 | 1

1 | 0

0 | 0

1 | -1

2 | -2

3 | -3

2.计算由两条抛物线：y=x²和y=-x²所围成的图形的面积。

解：两条抛物线的交点为(0,0)和(0,1)，对称轴为y轴。因此，所求面积为：

int_{-1}^{0}(-x^2-x^2)dx+\\int_{0}^{1}(x^2-x^2)dx=\\int_{-1}^{1}x^2dx=\\frac{2}{3}$$

1.满足初始条件y(1)=e的特解。

2.原式=lim(x->3)(x+3)/(x^2-9)=1/3.

3.原式=lim(x->∞)(1+1/x)^(2x)=e^2.

4.y'=(x+2)^2/2，y'(0)=1/2，dy=-sin(x)e^cos(x)dx，y=ex+y(1+y'-y/x)。

5.原式=lim(x->2)(x-2)cos(x)+C/x^2=2C/4+1=1/2+C。

6.原式=S=(1/3)x^(3)+(1/2)x^(2)+C。

7.特征方程r^2+6r+13=0，解得r=-3±2i，所以y=e^(-3x)(C1cos2x+C2sin2x)。

8.原式=∫(e^x)/(x-1)dx=ln|x-1|e^x+C，由y(1)=0可得C=-e，所以y=(x-1)/(xe)+1/e。

一、选择题

1.函数y=ln(1-x)+(1/(x+2))的定义域是(-2,1)。

2.极限lim(e^x/x)的值是+∞。

3.极限lim(x->1)(sin(x-1)/(1-x)^2)的值是1/3.

二、填空题

1.满足初始条件y(1)=e的特解为y=e^(x-1)/(x-1)。

2.原式=lim(x->3)(x+3)/(x^2-9)=1/3.

3.原式=lim(x->∞)(1+1/x)^(2x)=e^2.

4.y'=(x+2)^2/2，y'(0)=1/2，dy=-sin(x)e^cos(x)dx，y=ex+y(1+y'-y/x)。

5.原式=∫(e^(2x))/(2x)dx=1/(e^2-1)。

三、XXX

1.y'=(x+2)^2/2，y'(0)=1/2，求y的解析式。

解：y'=(x+2)^2/2，y'(0)=1/2，所以y=(1/3)x^3+(1/2)x^2+C。代入y'(0)=1/2可得C=1/2，所以y=(1/3)x^3+(1/2)x^2+1/2.

2.求lim(x->1)(sin(x-1)/(1-x)^2)的值。

解：将sin(x-1)/(1-x)^2化简为-sin(x-1)/[(x-1)^2*(1+x-1)]，再将x-1替换为t，原式变为-lim(t->0)(sin(t)/t^2)，这是一个标准的极限形式，解得值为1/3.

3.求y'=-(y/x)sin(x)+cos(x)，y(π/2)=1的特解。

解：将y'=-(y/x)sin(x)+cos(x)改写为y'+(1/x)sin(x)y=cos(x)，然后乘以e^(∫(1/x)sin(x)dx)=e^ln|x|=x，得到xy'+sin(x)y=xcos(x)。解这个一阶线性微分方程得到y=(1/x)e^(-∫sin(x)/xdx)[∫x*cos(x)e^(∫sin(x)/xdx)dx+C]。由y(π/2)=1可得C=0，代入得到y=(x/π)e^(-∫sin(x)/xdx)[∫π/2^x*cos(x)e^(∫sin(x)/xdx)dx]。

高数》试卷5（上）

一、选择题（每小题3分）

1、函数y=2+x+1/lg(x+1)的定义域是（）.

A、(-2,-1)∪(,-∞) B、(-1,)∪(,-∞) C、(-1,)∩(,-∞) D、(-1,+∞)

2、下列各式中，极限存在的是（）.

A、limcosx B、limarctanx C、limsinx x→∞ x→∞ x→∞ D、x lim→+∞(2-1/e)

3、limx→∞(1+x)x=（）.

A、e B、e2 C、1 D、1/e

4、曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程是（）.

A、y=x B、y=(lnx-1)(x-1) C、y=x-1 D、y=-(x+1)

5、已知y=xsin3x，则dy=（）.

A、(-cos3x+3sin3x)dx B、(sin3x+3xcos3x)dx C、(cos3x+sin3x)dx D、(sin3x+xcos3x)dx

6、下列等式成立的是（）.

A、∫xαdx=1/xα-1+C B、∫axα+1dx=axlnx+C C、y2+21-x2=C D、cosxdx=sinx+C ∫1/(1+x2)

7、计算esinxsinxcosxdx的结果中正确的是（）.

A、esinx+C B、esinxcosx+C C、esinxsinx+C D、esinx(sinx-1)+C

8、曲线y=x2，x=0，x=1，y=1所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体体积V=（）.

A、π/6 B、π/12 C、π/20 D、π/30

9、设a>0，则∫a2-x2dx=（）.

A、a B、π/2 C、a2 D、πa2/4

10、方程（）是一阶线性微分方程.

A、xy' + ln2y = 0 B、y' + exy = x2 C、(1+x)y' - ysin(y) = 0 D、xy'dx + (y-6x)dy = 0

二、填空题（每小题4分）

1、设f(x)= { ex+1.x≤0.ax+b。x>0 }，则有limf(x)=____，limf(x)=____；

答案：-1.a+b+1

2、设y=xe，则y''=____；

答案：0

3、函数f(x)=ln(1+x)在区间[-1,2]的最大值是____，最小值是____；

答案：ln3.0

4、∫x-11/(1+x2)dx=____。

答案：-ln2

3cos(x)dx = 3sin(x) + C；

5、微分方程y''-3y'+2y=的通解是y=C1e^2x + C2e^x；

计算题：

1、求极限lim(x->1) [(13-2)/(x-1)+(x-2)] = 11；

2、求y=1-x^2arccosx的导数，利用链式法则和反三角函数的导数公式，得到y' = -2xarccosx；

3、求函数y=2x^3+3x^2+4x的微分，得到dy = (6x^2+6x+4)dx；

4、求不定积分∫(2+lnx)/x dx，利用分部积分法，得到∫(2+lnx)/x dx = 2lnx + x + C；

5、求定积分∫e^(lnx) dx，由于e^(lnx) = x，所以∫e^(lnx) dx = ∫x dx = x^2/2 + C，其中C为积分常数；

6、求方程xy'+xy=y满足初始条件y(0)=4的特解，将方程改写为(y/x)' = -y/x + 1，然后利用分离变量法，得到ln|y/x-1| = -x + C，带入初始条件y(0)=4，解得C=ln5，所以特解为y=x(1+ln5)。

应用题：

1、求由曲线y=2-x和直线x+y=2所围成的平面图形的面积，将直线方程改写为y=2-x，然后求出两条直线的交点为(1,1)，所以该图形可以看成是由曲线y=2-x和x轴围成的图形再减去三角形OAB，其中O为原点，A为点(1,0)，B为点(1,1)，所以该图形的面积为∫0^1 (2-x)dx - 1/2 = 3/2；

2、利用导数作出函数y=x^3-6x^2+9x-4的图象，求出y'=3x^2-12x+9和y''=6x-12，然后求出导数为0的点为x=1和x=3，以及拐点为x=2，然后根据导数的正负性和函数的增减性、凸凹性，画出函数的草图。