北师大版-学年度上学期八年级期中数学试卷A(含解析)

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（　　）

A．3个        B．4个        C．5个        D．6个

2．如果点A（﹣3，b）在第三象限，则b的取值范围是（　　）

A．b＜0        B．b≤0        C．b≥0         D．b＞0

3．下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠C=90°，③AC：BC：AB=3：4：5，④∠A：∠B：∠C=3：4：5中，能确定△ABC是直角三角形的有（　　）

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

4．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2019的点与正方形上的数字对应的是（　　）

A．0         B．2        C．4         D．6

5．在平面直角坐标系中，点（1，1）关于y轴对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣1，﹣1）      B．（1，﹣1）      C．（﹣1，1）      D．（1，1）

6．正比例函数如图所示，则这个函数的解析式为（　　）

A．y=x        B．y=﹣x        C．y=﹣2x         D．y=﹣x

7．已知一次函数y=（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＜4        B．﹣≤m＜4      C．﹣≤m≤4         D．m

8．估计2﹣2的值介于下列哪两个整数之间（　　）

A．2和3        B．3和4         C．4和5         D．5和6

9．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m﹣1，﹣m﹣）（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为（　　）

A．﹣         B．﹣         C．3         D．4

10．把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，则所得直线的表达式为（　　）

A．y=x+1         B．y=﹣x﹣1          C．y=x﹣3        D．y=﹣x+3

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．下列实数中：①，②，③，④0，⑤﹣1.010010001．其中是无理数的有　   　（填序号）．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y=x﹣2上一点，且∠ABP=45°，则点P的坐标为　   　．

13．点P（﹣3，4）到x轴和y轴的距离分别是　   　．

14．如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=　   　．

15．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　   　cm（杯壁厚度不计）．

16．如图，已知直线l：y=﹣x+4，在直线l上取点B1，过B1分别向x轴，y轴作垂线，交x轴于A1，交y轴于C1，使四边形OA1B1C1为正方形；在直线l上取点B2，过B2分别向x轴，A1B1作垂线，交x轴于A2，交A1B1于C2，使四边形A1A2B2C2为正方形；按此方法在直线l上顺次取点B3，B4，…，Bn，依次作正方形A2A3B3C3，A3A4B4C4，…，An﹣1AnBnCn，则A3的坐标为　   　，B5的坐标为　   　．

三．解答题（共8小题，满分72分）

17．（20分）化简计算

①π0+2﹣1﹣﹣|1﹣|

②﹣2           

③﹣（+2）

④3﹣9+3                     

⑤÷﹣×+．

18．（6分）请你给如图建立平面直角坐标系，使文化宫的坐标为（﹣3，1），超市的坐标为（2，﹣3）．

（1）画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标；

（2）直接写出由超市、文化馆、市场围成的三角形的面积．

19．（6分）已知|a﹣3|+，求（）2和ba的值．

20．（6分）已知一次函数y=（2m﹣3）x+2﹣n满足下列条件，分别求出m，n的取值范围．

（1）使得y随x增加而减小．

（2）使得函数图象与y轴的交点在x轴的上方．

（3）使得函数图象经过一、三、四象限．

21．（7分）如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴于点B．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）过点B过直线BP与x轴交于点P，且OP=2OA，求△ABP的面积．

22．（7分）如图，矩形A1BlC1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．

（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；

（2）连接B1B；判断△B1BG的形状，并写出判断过程．

23．（9分）甲，乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中其中一人因故障停止加工几分钟后又继续按原速加工，直到他们完成任务，如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，观察图象解决下列问题：

（1）点B的坐标是　   　，B点表示的实际意义是　   　；

（2）求线段BC对应的函数关系式和D点坐标；

（3）乙在加工的过程中，多少分钟时比甲少加工100个零件？

（4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成．丙每分钟能加工3个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少分钟时开始帮助乙？并在图中用虚线画出丙帮助后y与x之间的函数关系的图象．

24．（11分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．

（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为　   　度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为　   　；

（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；

（3）PA、PB、PC满足的等量关系为　   　．

参与试题解析

1．解：∵=，

而（0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，

∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，

所以可以是6，24，54，96共有4个．

故选：B．

2．解：∵点A（﹣3，b）在第三象限，

∴b＜0，

故选：A．

3．解：①∠A+∠B=∠C时，∠C=90°，是直角三角形，

②∠C=90°，是直角三角形，

③AC：BC：AB=3：4：5，

∴32+42=52，是直角三角形；

④∠A：∠B：∠C=3：4：5时，∠C=180°×＜90°，是锐角三角形，

故选：C．

4．解：从点﹣1到点2019共2020个单位长度，

正方形的边长为8÷4=2（个单位长度），

2020÷8=252余4，

故数轴上表示2019的点与正方形上表示数字4的点对应，

故选：C．

5．解：点（1，1）关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，1），

故选：C．

6．解：设这个函数的解析式为y=kx，

∵函数图象经过（1，﹣1），

∴﹣1=k，

∴这个函数的解析式为y=﹣x．

故选：B．

7．解：根据题意得

，

解得﹣≤m＜4．

故选：B．

8．解：∵3.5＜＜4，

∴7＜﹣1＜8，

∴5＜2﹣2＜6，

即2﹣2在5和6之间，

故选：D．

9．解：由两点间的距离公式可知：PM2=（m﹣1）2+（﹣m﹣﹣2）2=（m+）2+16，

∵＞0，

∴当m=﹣时，PM2最小．

故选：B．

10．解：令x=0，则y=1，即直线y=x+1与y轴交点为（0，1）；

令y=0，则x=﹣1，即直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0）．

点（0，1）绕点（1，0）旋转180°变为（2，﹣1）；点（﹣1，0）绕点（1，0）旋转180°变为（3，0）．

设旋转后所得直线的表达式为y=kx+b，

则有，

解得：．

故旋转后所得直线的表达式为y=x﹣3．

故选：C．

11．解：下列实数中：①，②，③，④0，⑤﹣1.010010001．其中是无理数的为：②③，

故答案为②③

12．解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），

取AA′的中点K（﹣2，﹣1），

直线BK与直线y=x﹣2的交点即为点P．

∵直线BK的解析式为y=5x+9，

由，解得，

∴点P坐标为（﹣，﹣），

故答案为（﹣，﹣）．

13．解：点P（﹣3，4）到x轴的距离为4，到y轴的距离是3，

故答案为：4；3．

14．解：∵直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，

∴当x=﹣2时，3x+b=ax﹣2，

∴关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=﹣2．

故答案为﹣2．

15．解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．

故答案为20．

16．解：当x=0，y=4，当y=0时，﹣x+4=0，x=4，

∴OE=OF=4，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴∠C1EF=45°

∴△B1C1E是等腰直角三角形，

∴B1C1=EC1，

∵四边形OA1B1C1为正方形，

∴OC1=C1B1=EC1=2，

∴B1（2，2），A1（2，0），

同理可得：C2是A1B1的中点，

∴B2（2+1=3，1），A2（3，0），

B3（2+1+=，），A3（，0），

B4（+=，），A4（，0），

B5（+=，）．

故答案为：（，0），（，）．

17．解：①原式=1+﹣﹣（﹣1）=2﹣．

②原式=2+1﹣2=1．

③原式=2﹣2﹣2=﹣2．

④原式=12﹣3+6=15．

⑤原式=4﹣+2=4+．

18．解：（1）画坐标轴如图所示，

火车站（0，0），体育场（﹣4，3），医院（﹣2，﹣2）；

（2）三角形的面积=7×6﹣×5×4﹣×2×6﹣×2×7，

=42﹣10﹣6﹣7，

=42﹣23，

=19．

19．解：由题意得a﹣3=0，a+b﹣1=0，

解得a=3，b=﹣2，

则（）2=（）2=5，

ba=（﹣2）3=﹣8．

20．解：（1）∵一次函数y=（2m﹣3）x+2﹣n的图象y随x的增大而减小，

∴2m﹣3＜0，

解得m＜，n取一切实数；

（2）∵y=（2m﹣3）x+2﹣n，

∴当x=0时，y=2﹣n，

由题意，得2﹣n＞0且2m﹣3≠0，

∴m≠，n＜2；

（5）∵该函数的图象经过第一、三、四象限，

∴2m﹣3＞0，且2﹣n＜0，

解得m＞，n＞2．

21．解：（1）令y=0，得x=﹣1.5，

∴A点坐标为（﹣1.5，0），

令x=0，得y=3，

∴B点坐标为（0，3）；

（2）设P点坐标为（x，0），

∵OP=2OA，A（﹣1.5，0），

∴x=±3，

∴P点坐标分别为P1（3，0）或P2（﹣3，0）．

∴S△ABP1=×（1.5+3）×3=6.75，S△ABP2=×（3﹣1.5）×3=2.25，

∴△ABP的面积为6.75或2.25．

22．（1）证明：显然，BE∥GF，

根据对称性得∠1=∠2，∠3=∠4

∵A1D1∥B1C1

∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴∠1=∠2=∠3=∠4

∴EF∥BG

∴四边形BEFG是平行四边形；

（2）解：△B1BG是直角三角形，

理由：

∵A1D1∥B1C1

∴∠4=∠6

∴∠3=∠6

∴BF=FG

∵B1F与BF关于EF对称

∴B1F=BF

∴B1F=BF=FG

∴△B1BG是直角三角形．

23．解：（1）B（15，0），B点表示的实际意义是：甲乙两人工作15分钟时，加工零件的数量相同

故答案为：（15，0）；甲乙两人工作15分钟时，加工零件的数量相同；

（2）由图形可知：甲因故障停止加工15﹣10=5分钟后又继续按原速加工，

甲105分钟时，完成任务，即甲100分钟，加工600个零件，

甲加工的速度：=6，

设乙每分钟加工a个零件，

15a=10×6，

a=4，

600﹣105×4=600﹣420=180，

∴C（105，180），

设BC的解析式为：y=kx+b，

把B（15，0）和C（105，180）代入得：，

解得：，

∴线段BC对应的函数关系式为：y=2x﹣30（15≤x≤105），

=150，

∴D（150，0）；

（3）当x=10时，y=6×10﹣4×10=20，

∴A（10，20），

易得CD：y=﹣4x+600，

当y=100时，﹣2x﹣30=100，x=65，

﹣4x+600=100，x=125，

综上所述，乙在加工的过程中，65分钟或125分钟时比甲少加工100个零件；

（4）设丙应在第x分钟时开始帮助乙，

＞15，

∴x＞15，

由题意得：4x+（3+4）（105﹣x）=600，

x=45，

则丙应在第45分钟时开始帮助乙；

丙帮助后y与x之间的函数关系的图象如右图所示．

24．解：（1）∵△ABP≌△ACP′，

∴AP=AP′，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，

∴△PAP′为等边三角形，

∴∠APP′=60°，

∵∠PAC+∠PCA==30°，

∴∠APC=150°，

∴∠P′PC=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∴PA2+PC2=PB2，

故答案为：150，PA2+PC2=PB2；

（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，

∴∠APP′=30°，

∵∵∠PAC+∠PCA==60°，

∴∠APC=120°，

∴∠P′PC=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∵∠APP′=30°，

∴PD=PA，

∴PP′=PA，

∴3PA2+PC2=PB2；

（3）如图2，与（2）的方法类似，

作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，

∴∠APP′=90°﹣，

∵∵∠PAC+∠PCA=，

∴∠APC=180°﹣，

∴∠P′PC=（180°﹣）﹣（90°﹣）=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∵∠APP′=90°﹣，

∴PD=PA•cos（90°﹣）=PA•sin，

∴PP′=2PA•sin，

∴4PA2sin2+PC2=PB2，

故答案为：4PA2sin2+PC2=PB2．