高中数学常用公式及结论(精简版)

1  元素与集合的关系:,. 

2 集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式;

(2) 顶点式;（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）

(3) 零点式；（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，

设为此式）

（4）切线式：。（当已知抛物线与直线相切且切点的

 横坐标为时，设为此式）

4 真值表： 同真且真，同假或假

5 常见结论的否定形式;

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题

若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ

互　　　　　　　互

互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互

否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否

逆　　　逆

否　　　　　　 否

否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题

若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、，则是的充分条件，反之，是的必要条件； 

           (2)、，且≠>，则是的充分不必要条件；

           (3)、≠>，且，则是的必要不充分条件；

           (4)、≠>，且≠>，则是的既不充分又不必要条件。

  7 函数单调性:

    增函数：(1)、文字描述是：随的增大而增大。

    （2）、数学符号表述是：设在上有定义，若对任意的且，都有成立，则就叫在上是增函数。则就是的递增区间。

    减函数：(1)、文字描述是：随的增大而减小。

    （2）、数学符号表述是：设在上有定义，若对任意的且，都有成立，则就叫在上是减函数。则就是的递减区间。

     单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；    

     (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

    复合函数的单调性：

(1)设那么

上是增函数；

上是减函数.

(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 

    8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）

    奇函数：

    定义：在前提条件下，若有，则就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在对称区间上和上具有相同的单调区间，相反的最值；

（3）、定义在R上的奇函数，有  .

    偶函数：

    定义：在前提条件下，若有，则就是偶函数。

    性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

    （2）、偶函数在和上具有相反的单调区间，相同的最值；

    奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数；  （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数；  (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）

(5)、偶函数±偶函数=偶函数；    (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

    奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数．

    9函数的周期性：

    定义：对函数，若存在0，使得，则就叫是周期函数，其中，是

的一个周期。

     周期函数几种常见的表述形式： 

(1)、，此时周期为2 ；

（2）、，此时周期为2 ；

(3)、，此时周期为2  。

10常见函数的图像：

    11 对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;

两个函数与的图象关于直线对称. 

    12 分数指数幂与根式的性质：

(1)（，且）.

（2）（，且）.

（3）.

（4）当为奇数时，；当为偶数时，.

    13 指数式与对数式的互化式: .

指数性质：

        (1)1、  ；    （2）、（）  ； (3)、

(4)、  ；  (5)、  ；  

指数函数：

(1)、在定义域内是单调递增函数；

（2）、在定义域内是单调递减函数。注：  指数函数图象都恒过点（0，1）

对数性质：  

(1)、  ；（2）、  ；     

(3)、   ；(4)、  ；  (5)、 

(6)、    ；        (7)、       

 对数函数： 

(1)、  在定义域内是单调递增函数；

（2）、在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）

(3)、  

(4)、或 

    14 对数的换底公式 : (,且, ,且,).

 对数恒等式： (,且,).

推论  (,且,).

    15对数的四则运算法则:若＞0，≠1，＞0，＞0，则

(1);    (2);

(3);    (4)。

   16 平均增长率的问题（负增长时）：

如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.

    17 等差数列：

通项公式： （1）  ，其中为首项，为公差，为项数，为末项。

（2）推广： 

（3）  （注：该公式对任意数列都适用）

前项和： （1）；其中为首项，为项数，为末项。

（2）

（3）    （注：该公式对任意数列都适用）

（4）    （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若，则有  ；

注：若的等差中项，则有2成等差。

（2）、若、为等差数列，则为等差数列。

（3）、为等差数列，为其前n项和，则也成等差数列。

（4）、；  

等比数列：

通项公式：（1）  ，其中为首项，为项数，为公比。

（2）推广： 

（3）    （注：该公式对任意数列都适用）

前项和：（1）    （注：该公式对任意数列都适用）

（2）    （注：该公式对任意数列都适用）

             （3）  

常用性质：（1）、若，则有  ；

注：若的等比中项，则有 成等比。

（2）、若、为等比数列，则为等比数列。

    18分期付款(按揭贷款) ：每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).

    19三角不等式：

（1）若，则.

(2) 若，则.

(3).

    20 同角三角函数的基本关系式 ：， =，

    21 正弦、余弦的诱导公式（记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限）

           1、诱导公式

诱导公式一：，，其中

             诱导公式二：； 

             诱导公式三：；     

             诱导公式四：；   

             诱导公式五：；.

             诱导公式六：；.  

        2、诱导公式的推广

        诱导公式一的推广：；.

        诱导公式三的推广：；  .

    22 和角与差角公式

    ;;

.

=

(辅助角所在象限由点的象限决定, ).

     23 二倍角公式及降幂公式  

.

.

.           

     24 三角函数的周期公式 

函数，∈R及函数，∈R(,ω,为常数，且≠0)的周期；函数， (,ω,为常数，且≠0)的周期.

三角函数的图像：

    25 正弦定理 ：（为外接圆的半径）.

     26余弦定理：

;;.

      27面积定理：

（1）（分别表示边上的高）.

（2）.

 (3).

    28三角形内角和定理 ：

在△ABC中，有

.

    29实数与向量的积的运算律:设、为实数，那么：

(1) 结合律： ()=();

(2)第一分配律：()=+;

(3)第二分配律： (+)=+.

    30与的数量积(或内积)：·=||||。

    31平面向量的坐标运算：

(1)设=,=，则+=.

(2)设=,=，则-=.  

    (3)设A，B,则.

(4)设=，则=.

(5)设=,=，则·=.

    32 两向量的夹角公式：

(=,=).

    33 平面两点间的距离公式：

 = (， ).

    34 向量的平行与垂直 ：设=,=，且，则：

||=.（交叉相乘差为零）

 ()·=0.（对应相乘和为零）

     35 线段的定比分公式 ：设，，是线段的分点,是实数，且，则 （）.

     36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.

    37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

（1）为的外心.

（2）为的重心.

（3）为的垂心.

（4）为的内心.      

（5）为的的旁心.

      38常用不等式：

（1） (当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2） (当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）

（4）.

（5）(当且仅当a＝b时取“=”号)。

        39极值定理:已知都是正数，则有

（1）若积是定值，则当时和有最小值；

（2）若和是定值，则当时积有最大值.

（3）已知，若则有

。

（4）已知，若则有

    40 一元二次不等式，如果与同号，

则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号

两根之间.即：

；

.

    41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

.

或.

    42 斜率公式 ：

（、）.

    43 直线的五种方程：

（1）点斜式  (直线过点，且斜率为)．

（2）斜截式  (b为直线在y轴上的截距).

（3）两点式  ()(、()).

　两点式的推广：（无任何条件！）

(4)截距式  (分别为直线的横、纵截距，)

（5）一般式  (其中A、B不同时为0).

直线的法向量：，方向向量： 

    44 夹角公式：

(1).　(，,)

(2).(, ,).

直线时，直线l1与l2的夹角是.

    45到的角公式：

(1).(，,)

(2).(, ,).

直线时，直线l1到l2的角是.

    46 点到直线的距离 ： (点,直线：).

    47 圆的四种方程：

（1）圆的标准方程.

（2）圆的一般方程  (＞0).

（3）圆的参数方程.

（4）圆的直径式方程  (圆的直径的端点是、).

    48点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：

若，则点在圆外;

点在圆上;         点在圆内.

    49直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种():

;;.

    50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为，半径分别为，，则：

;

;

;

;

.

    51 椭圆的参数方程是.　离心率，

准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：.

     52 椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

，；。

      53椭圆的的内外部:

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

     54 椭圆的切线方程:

(1) 椭圆上一点处的切线方程是.

   （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.

   （3）椭圆与直线相切的条件是.

    55 双曲线的离心率，准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.

焦半径公式，，

两焦半径与焦距构成三角形的面积。

    56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为渐近线方程： .

    (2)若渐近线方程为双曲线可设为.

(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为

（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.

(4) 焦点到渐近线的距离总是。

    57双曲线的切线方程:

 (1)双曲线上一点处的切线方程是.

     (2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

    （3）双曲线与直线相切的条件是.

        58抛物线的焦半径公式:

抛物线焦半径.

过焦点弦长.

      59二次函数的图象是抛物线：

（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；

（3）准线方程是.

        60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 

或

（弦端点A，由方程消去得到

,为直线的倾斜角，为直线的斜率，. 

     61证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

     62证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。

     63证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直；

(3) 转化为两平面的法向量平行。

         向量的直角坐标运算：

设＝，＝则：

(1)＋＝；

(2)－＝；

(3)λ＝(λ∈R)；

(4)·＝；

       65 夹角公式：

设＝，＝，则.

    66 异面直线间的距离 ：

(是两异面直线，其公垂向量为，是上任一点，为间的距离).

     67点到平面的距离：

（为平面的法向量，，是的一条斜线段）.

     68球的半径是R，则其体积,其表面积．

     69球的组合体：

   (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

   (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体

的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

   (3)球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高的),外接球的半径为(正四面体高的).