2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷(解析版)

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】

1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（　　）

A．8 B．6 C． D．2

2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（　　）

A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα

3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（　　）

A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2

5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（　　）

A． B．

C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝　   　．

8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是　   　．

9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是　   　．

10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是　   　．

11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式　   　．

12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是　   　．

13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝　   　．

14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　   　．（不需写出x的取值范围）．

15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是　   　厘米．

16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是　   　．

17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是　   　．

18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是　   　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：﹣cot45°．

20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．

（1）用、表示；（直接写出答案）

（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．

21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）

（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；

（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC＝2，求点B坐标．

23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．

（1）求证：AD•DE＝AB•BF；

（2）联结AC，如果，求证：．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．

（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；

（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；

（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．

25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．

（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，

①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当＝7时，请直接写出线段AE的长．

2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】

1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（　　）

A．8 B．6 C． D．2

【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．

【解答】解：若b是a、c的比例中项，

即b2＝ac．

42＝2c，

解得c＝8，

故选：A．

【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．

2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（　　）

A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα

【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．

【解答】解：由题意，得

cosA＝，

AC＝AB•cosA＝m•cosα，

故选：B．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．

3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．

【解答】解：A、•与的模相等，方向不一定相同．故错误．

B、正确．

C、|与的模相等，方向不一定相同，故错误．

D、•与•的模相等，方向不一定相同，故错误．

故选：B．

【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（　　）

A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2

【分析】根据平移的规律即可求得答案．

【解答】解：二次函数y＝x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y＝（x+1）2﹣2．

故选：B．

【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：∵∠A＝∠D＝60°，，

∴△ABC∽△DEF，

∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°

故选：C．

【点评】考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（　　）

A． B．

C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE

【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．

【解答】解：∵∠EAD＝∠CAB，

∴当，

即AD•AC＝AB•AE，

∴ED∥BC，

故选：D．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝　﹣3+4　．

【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．

【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，

故答案为﹣3+4．

【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是　　．

【分析】证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴BC＝，

故答案为．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．

9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是　6　．

【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．

【解答】解：∵AD∥BE∥CF，

∴，

∵DF＝15，

∴，

解得：DE＝6，

故答案为：6

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．

10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是　　．

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．

【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），

∴＝＝．

故答案为．

【点评】本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．

11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式　答案不唯一（如 y＝x2﹣2x）　．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．

【解答】解：符合的表达式是 y＝x2﹣2x，

故答案为 y＝x2﹣2x．

【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．

12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是　2　．

【分析】在Rt△BDC中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在Rt△ABD中，再求出AB即可．

【解答】解：在Rt△BDC中，

∵BC＝4，sin∠DBC＝，

∴CD＝BC×sin∠DBC＝4×＝，

∴BD＝＝，

∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，

∴∠A＝∠DBC，

在Rt△ABD中，

∴AB＝＝×＝2，

故答案为：2．

【点评】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．

13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝　　．

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE，根据余弦的定义求得cos∠A的值．

【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，

∴∠ADB＝90°

∴在△ADC中，cos∠B＝＝，

∴BD＝AB＝1．

∵AB＝AC，AD⊥BC

∴BD＝DC，

∴BC＝2，

∴AD＝＝＝2

∵AB•CE＝AD，

∴CE＝＝＝，

∴AE＝＝

∴cos∠A＝＝＝，

故答案为．

【点评】本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的性质、勾股定理，三角形面积公式．

14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　y＝﹣+12x　．（不需写出x的取值范围）．

【分析】根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．

【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，

∴DG∥EF，

∴△ADG∽△ABC，

∴，

得DG＝，

∴y＝x＝+12x，

故答案为：y＝+12x．

【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是　9.6　厘米．

【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，

由题意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，

故BF＝＝＝10（cm），

可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，

故△BFC∽△BAE，

∴＝，

∴＝，

解得：BE＝9.6．

故答案为：9.6．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．

16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是　8或　．

【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．

【解答】解：如图

∵∠DAE＝∠BAC，

∴当△ADE∽△ABC，

∴，

即，

解得：AD＝8，

∴当△AED∽△ABC，

∴，

即，

解得：AD＝，

故答案为：8或

【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是　　．

【分析】如图，延长AG交BC于K．根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题．

【解答】解：如图，延长AG交BC于K．

∵点G是△ABC的重心，

∴AG＝2GK，BG＝2GF，CG＝2EG，

∵AG＝5，BF＝6，

∴GK＝，BG＝4，

∵CE⊥BF，

∴∠BGC＝90°，

∴BC＝2GK＝5，CG＝＝＝3，

∴EG＝CG＝，

∴EC＝3+＝．

故答案为．

【点评】本题考查三角形的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是　﹣1　．

【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出＝＝，设CD＝9x，则BE＝4x，求出AB＝×BE＝6x，作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出BM＝CM＝BC，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，得出BC＝2BM＝6x，求出DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6x，即可得出答案．

【解答】解：∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B＝30°，

∵∠DAE＝∠B＝30°，

∴∠DAE＝∠B＝∠C，

∵∠AED＝∠BEA，

∴△ADE∽△BAE，

∴＝＝，

∴AE2＝DE×BE，

同理：△ADE∽△CDA，

∴＝，

∴AD2＝DE×CD，

∴＝＝（）2＝，

设CD＝9x，则BE＝4x，

∵＝，

∴AB＝×BE＝×4x＝6x，

作AM⊥BC于M，如图所示：

∵AB＝AC，

∴BM＝CM＝BC，

∵∠B＝30°，

∴AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，

∴BC＝2BM＝6x，

∴DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6x，

∴＝＝﹣1；

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：﹣cot45°．

【分析】代入特殊角的三角函数值求值．

【解答】解：原式＝

＝0．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．

（1）用、表示；（直接写出答案）

（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．

【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；

（2）根据向量定理即可画出．

【解答】解：（1）∵＝，即DE＝CE，DE＝DC，

＝+

（2）如图所示：即为的结果．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、平面向量，解决本题的关键是准确画图．

21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）

（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）

【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，设CH＝x，则BH＝x．解直角三角形即可得到结论；

（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，

∵∠CBA＝45°，

∴BH＝CH，

设CH＝x，则BH＝x．

∵在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，

∴．

∴．

解得：，

∴18+1＝19．

答：计算得到的无人机的高约为19m；

（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，

在Rt△AGF中，，

∴，

又．

∴，或

答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；

（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC＝2，求点B坐标．

【分析】（1）由二次函数的性质可求解；

（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．

【解答】解：（1）抛物线＝﹣（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），

抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；

（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．

设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，

∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），

代入，得．

解得m1＝0（舍），m2＝1，

∴点B的坐标为（﹣4，2）．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B坐标是本题的关键．

23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．

（1）求证：AD•DE＝AB•BF；

（2）联结AC，如果，求证：．

【分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．

（2）由△ACF∽△CDE，△CDE∽△CBF，推出△ACF∽△CBF，可得，又△ACF与△CBF等高，推出，可得结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，AD∥BC，

∴∠CDE＝∠DAB，∠CBF＝∠DAB，

∴∠CDE＝∠CBF，

∵CE⊥AE，CF⊥AF，

∴∠CED＝∠CFB＝90°，

∴△CDE∽△CBF，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD，CD＝AB，

∴，

∴AD•DE＝AB•BF．

（2）∵，∠CED＝∠CFB＝90°，

∴△ACF∽△CDE，

又∵△CDE∽△CBF，

∴△ACF∽△CBF，

∴，

∵△ACF与△CBF等高，

∴，

∴．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．

（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；

（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；

（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．

【分析】（1）设影子抛物线表达式是y＝x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y＝x2+n，可求解；

（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；

（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．

【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4

∴原抛物线顶点是（1，4），

设影子抛物线表达式是y＝x2+n，

将（1，4）代入y＝x2+n，解得n＝3，

所以“影子抛物线”的表达式是y＝x2+3；

（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，

则原抛物线顶点是（﹣m，k），

将（﹣m，k）代入y＝﹣x2+5，得﹣（﹣m）2+5＝k①，

将（1，0）代入y＝﹣（x+m）2+k，0＝﹣（1+m）2+k②，

由①、②解得，．

所以，原抛物线表达式是y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣（x﹣2）2+1；

（3）结论成立．

设影子抛物线表达式是y＝ax2+n．原抛物线于y轴交点坐标为（0，c）

则两条原抛物线可表示为与抛物线（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）

由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、

将P1、P2分别代入y＝ax2+n，

得

消去n得，

∵b1≠b2，

∴b1＝﹣b2

∴，，

∴P1、P2关于y轴对称．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．

25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．

（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，

①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当＝7时，请直接写出线段AE的长．

【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x即可解决问题．

（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．

②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．

∵AD＝AC，

∴AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，

∴∠EBC＝45°．

过点E作EG⊥BC，垂足为点G．

设AE＝x，则EC＝2﹣x．

在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，

∴，，

∴BG＝2﹣CG＝1+x，

在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，

∴，

解得．

所以线段AE的长是．

（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．

∵AD＝AC，AH⊥CD，

∴，

又∵∠AEF＝60°+α，

∴∠AFE＝60°，

∴∠AFE＝∠ACB，

又∵∠AEF＝∠BEC，

∴△AEF∽△BEC，

∴，

由（1）得在Rt△CGE中，，，

∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，

∴（0＜x＜2）．

②当∠CAD＜120°时，

y＝7，则有7＝，

整理得3x2+x﹣2＝0，

解得x＝或﹣1（舍弃），

．

当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝

当y＝7时，7＝，

整理得3x2﹣x﹣2＝0，

解得x＝﹣（舍弃）或1，

∴AE＝1．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．