2019全国1卷文数

一、选择题

1.设，则(   )

A．2        B．        C．        D．1

2.已知集合，则(   )

A．    B．    C．    D．

3.已知，则(   )

A．        B．        C．        D．

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是(   )

A．    B．    C．    D．

5.函数在的图像大致为(   )

A．    B．

C．    D．

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(   )

A．8号学生    B．200号学生    C．616号学生    D．815号学生

7.(   )

A．    B．    C．    D．

8.已知非零向量满足，且，则a与b的夹角为(   )

A．     B．    C．     D． 

9.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入(   )

A．    B．    C．    D．

10.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为(   )

A．    B．    C．    D．

11.的内角的对边分别为已知，，则(   )

A．6    B．5    C．4    D．3

12.已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点．若，，则的方程为(   )

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13.曲线在点处的切线方程为_______.

14.记为等比数列的前n项和.若，则___________．

15.函数的最小值为___________．

16.已知，为平面外一点，，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为___________．

三、解答题

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

2.能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：．

1.若，求的通项公式；

2.若，求使得的n的取值范围．

19.如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是的中点.

1.证明：平面；

2.求点到平面的距离．

20.已知函数为的导数．

1.证明：在区间存在唯一零点；

2.若时，，求a的取值范围．

21.已知点关于坐标原点对称，，过点且与直线相切．

1.若在直线上，求的半径；

2.是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．

22.[选修4—4：坐标系与参数方程] 

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

1.求和的直角坐标方程；

2.求上的点到距离的最小值．

23.[选修4—5：不等式选讲]

已知为正数，且满足．证明：

1.；

2.．

参

一、选择题

1.答案：C

解析：

2.答案：C

解析：

3.答案：B

解析：

4.答案：B

解析：

5.答案：D

解析：

6.答案：C

解析：

7.答案：D

解析：

8.答案：B

解析：

9.答案：A

解析：

10.答案：D

解析：

11.答案：A

解析：

12.答案：B

解析：

二、填空题

13.答案：

解析：

14.答案：

解析：

15.答案：

解析：

16.答案：

解析：

三、解答题

17.答案：1.由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．

女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

2.．

由于，故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

解析：

18.答案：1.设的公差为d．

由得．

由得．

于是．

因此的通项公式为．

2.由1得，故.

由知，故等价于，解得．

所以n的取值范围是．

解析：

19.答案：1.连结.因为分别为的中点，所以，且.又因为为的中点，所以.

由题设知，可得，故，因此四边形为平行四边形，.又平面，所以平面.

2.过作的垂线，垂足为.

由已知可得，，所以平面，故.

从而平面，故的长即为到平面的距离，

由已知可得，所以，故.

从而点到平面的距离为.

解析：

20.答案：1.设，则.

当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，故在存在唯一零点.

所以在存在唯一零点.

2.由题设知，可得.

由1知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，所以，当时，.

又当时，，故.

因此，a的取值范围是.

解析：

21.答案：1.因为过点，所以圆心在的垂直平分线上.由已知在直线上，且关于坐标原点对称，所以在直线上，故可设.

因为与直线相切，所以的半径为.

由已知得，又，故可得，解得或.

故的半径或.

2.存在定点，使得为定值.

理由如下：

设，由已知得的半径为.

由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.

因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.

因为，所以存在满足条件的定点.

解析：

22.答案：1.因为，且，所以的直角坐标方程为.

的直角坐标方程为.

2.由1可设的参数方程为（为参数，）.

上的点到的距离为.

当时，取得最小值7，故上的点到距离的最小值为.

解析：

23.答案：1.因为，又，故有

.

所以.

2.因为为正数且，故有

.

所以.

解析：