高等数学-05章定积分

  教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

 教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

 教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5 1  定积分概念与性质

    一、定积分问题举例

    1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 

 求曲边梯形的面积的近似值 

 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b 

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 

它们的长度依次为∆x1 x1x0  ∆x2 x2x1      ∆xn  xn xn1  

 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间

[xi1 xi ]上任取一点ξi  以[xi1 xi ]为底、f (ξi)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n)  把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af (ξ1)∆x1 f (ξ2)∆x2   f (ξn )∆xn 

 求曲边梯形的面积的精确值 

 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{∆x1 ∆x2   ∆xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

  2 变速直线运动的路程

 设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S  

 求近似路程 

 我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔∆ti  在每个小的时间间隔∆ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔∆ti内某点ξi的速度v(τi) 物体在时间间隔∆ti内 运动的距离近似为∆Si v(τi)∆ti  把物体在每一小的时间间隔∆ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是 

在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2 

把[T 1  T 2]分成n个小段

[t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n]  

各小段时间的长依次为

∆t 1t 1t 0 ∆t 2t 2t 1   ∆t n t n t n1 

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

∆S 1 ∆S 2    ∆S n 

 在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻  i (t i1  i t i) 以  i时刻的速度v(  i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程∆S i的近似值 即 

∆S i v(  i)∆t i   (i1 2     n) 

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

 求精确值 

 记  max{∆t 1 ∆t 2   ∆t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

    设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0

及曲线yf (x)所围成的曲边梯形的面积 

 (1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间 

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记∆xixixi1 (i1 2     n)

 任取ξi[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

 (i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

 记 max{∆x1 ∆x2   ∆xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

 设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 

且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S  

 (1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间

段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记∆ti titi1 (i1 2     n)

 任取 i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v( i)∆ti 

(i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

  

 (3)记 max{∆t1 ∆t2   ∆tn} 所求路程的精确值为

    二、定积分定义

 抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 

 定义  设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb 

把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  

各小段区间的长依次为

∆x1x1x0 ∆x2x2x1   ∆xn xn xn1 

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点ξ i (xi1 ξ i  xi) 作函数值f (ξ i)与小区间长度∆xi的乘积

f (ξ i)∆xi (i1 2   n)  并作出和

记  max{∆x1 ∆x2   ∆xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点ξ i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a b]上的定积分 记作 

即 

其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间 

 定义 设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记∆xixixi1(i1 2   n)

 任ξ i[xi1 xi] (i1 2   n) 作和

 记 max{∆x1 ∆x2   ∆xn} 如果当 0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和ξ i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作 

即 

 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 

 变速直线运动的路程为 

 说明 

 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

 和通常称为f (x)的积分和 

 (3)如果函数f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f (x)在区间[a b]上可积 

 函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？

  定理1  设f (x)在区间[a b]上连续 则f (x) 在[a b]上可积 

 定理2  设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b]上可积 

 定积分的几何意义 

 在区间[a b]上 当f(x)≥0时 积分在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 

 当f (x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和 

用定积分的定义计算定积分 

    例1. 利用定义计算定积分 

 解  把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为

 (i1 2   n1) (i1 2   n) 

 取(i1 2   n)作积分和

 因为 当λ0时 n 所以

 利定积分的几何意义求积分:

 例2用定积分的几何意义求

    解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以

    三、定积分的性质

 两点规定 

    (1)当ab时  

    (2)当a>b时  

 性质1  函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即

    证明: 

 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

 这是因为

性质3如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即

 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 

 值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式

成立 例如 当a   

于是有

 性质4  如果在区间[a b]上f (x)1 则

 性质5  如果在区间[ab]上 f (x)0 则

 (ab) 

 推论1  如果在区间[ab]上 f (x) g(x) 则

 (ab) 

 这是因为g (x)f (x)0 从而

所以

 推论2 (ab) 

 这是因为|f (x)|  f (x)  |f (x)|所以

即      | 

 性质6  设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则

         (ab) 

 证明  因为 m f (x) M  所以

从而

 性质7  (定积分中值定理)  如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少存在一个点ξ 使下式成立 

这个公式叫做积分中值公式 

 证明  由性质6  

各项除以ba  得

再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点ξ  使

于是两端乘以ba得中值公式

 积分中值公式的几何解释 

 应注意 不论ab 积分中值公式都成立 

    §5 2 微积分基本公式

    一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

 设物体从某定点开始作直线运动 在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为vv(t)=S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为

        及

即      

 上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1 T2]上的增量 

 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？

    二、积分上限函数及其导数

 设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[a x]上的定积分

称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为

(x) 或(x) 

  定理1  如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

         (x)

在[a b]上具有导数 并且它的导数为

          (x)(a x 简要证明  若x(a b) 取∆x使x∆x(a b) 

 (x∆x)(x)

应用积分中值定理 有f (ξ)∆x 

其中ξ在x 与x∆x之间 ∆x0时 ξx  于是

 (x) 

  若xa  取∆x>0 则同理可证 (x) f(a) 若xb  取∆x<0 则同理可证 (x) f(b) 

  定理2  如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

         (x) 

就是f (x)在[a b]上的一个原函数 

 定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 

    三、牛顿  莱布尼茨公式

 定理3  如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则

此公式称为牛顿  莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式 

    这是因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数 

所以存在常数C 使

        F(x)(x)C (C为某一常数) 

由F(a)(a)C及(a)0 得CF(a) F(x)(x)F(a) 

由F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即

 证明 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数

 (x)

也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C 使

        F(x)(x)C (axb) 

当xa时 有F(a)(a)C 而(a)0 所以CF(a) 当xb 时 F(b)(b)F(a) 

所以(b)F(b)F(a) 即

    为了方便起见 可把F(b)F(a)记成 于是

 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 

 例1. 计算 

    解 由于是的一个原函数 所以

 例2 计算 

 解 由于arctan x是的一个原函数 所以

 例3. 计算

 解 =ln 1ln 2=ln 2

 例4. 计算正弦曲线y=sin x在[0 π]上与x轴所围成的平面图形的面积

 解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积

 =(1)(1)=2

 例5. 汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离？

 解  从开始刹车到停车所需的时间: 

当t0时 汽车速度

         v036km/hm/s10m/s 

刹车后t时刻汽车的速度为

        v(t)v0at 105t  

当汽车停止时 速度v(t)0 从

        v(t)105t 0

得 t2(s) 

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

         (m) 

即在刹车后 汽车需走过10m才能停住 

    例6. 设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数

在(0 )内为单调增加函数 

    证明   故

按假设 当0tx时f (t)>0 (xt)f (t) 0  所以

从而F (x)>0 (x>0) 这就证明了F (x) 在(0 )内为单调增加函数 

    例7. 求 

    解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则

提示 设 则 

 

   §5 3  定积分的换元法和分部积分法

    一、换元积分法

 定理  假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x  (t)满足条件 

    (1) (α) a   ( ) b 

    (2) (t)在[   ](或[   ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 

则有

    这个公式叫做定积分的换元公式 

证明  由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [ (t)] (t)在区间[   ](或[   ])上也是连续的 因而是可积的 

 假设F(x)是f (x)的一个原函数 则

F(b)F(a) 

 另一方面 因为{F[ (t)]}F [ (t)] (t) f [ (t)] (t) 所以F[ (t)]是f [ (t)] (t)的一个原函数 从而

F[ (  )]F[ (  )]F(b)F(a) 

因此     

    例1 计算(a>0) 

    解  

  

提示  dxa cos t  当x0时t0 当xa时 

    例2 计算 

    解 令t=cos x 则

提示 当x0时t1 当时t0 

或 

 例3 计算 

 解  

提示  

 在上|cos x|cos x 在上|cos x|cos x 

 例4 计算 

 解 

提示  dxtdt 当x0时t1 当x4时t3 

 例5 证明 若f (x)在[a a]上连续且为偶函数 则

 证明 因为

而  

所以 

 讨论  

    若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问？ 

 提示  若f (x)为奇函数 则f (x)f (x) 0 从而 

 例6 若f (x)在[0 1]上连续 证明

    (1) 

    (2) 

    证明 (1)令 则

    (2)令xπt 则

所以  

 例7 设函数 计算

 解 设x2t 则

  

提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2 

    二、分部积分法

 设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由

(uv)uv u v得u vu vuv  式两端在区间[a b]上积分得

 或

这就是定积分的分部积分公式

分部积分过程 

    例1 计算 

    解 

    例2 计算 

    解 令 则

 例3 设 证明

 (1)当n为正偶数时 

 (2)当n为大于1的正奇数时 

 证明  

 (n1)I n 2(n1)I n  

由此得

而  

因此

    例3 设(n为正整数) 证明

    证明  

 (n1)I n 2(n1)I n  

由此得   

特别地   

因此 

    §5 4  反常积分

    一、无穷限的反常积分

 定义1  设函数f(x)在区间[a  )上连续 取b>a  如果极限 

存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a  )上的反常积分 记作 即

这时也称反常积分收敛

 如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分就没有意义 此时称反常积分发散 

 类似地 设函数f(x)在区间( b ]上连续 如果极限

(a存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的反常积分 记作 即

这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在 则称反常积分发散 

 设函数f(x)在区间( )上连续 如果反常积分

和

都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的反常积分 记作 即

这时也称反常积分收敛

 如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分发散 

 定义1   连续函数f(x)在区间[a  )上的反常积分定义为

    在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 

    类似地  连续函数f(x)在区间(  b]上和在区间(   )上的反常积分定义为

 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则

  

可采用如下简记形式 

  

类似地   

  

    例1 计算反常积分 

 解  

    例2 计算反常积分 (p是常数 且p>0) 

 解  

  

提示  

    例3 讨论反常积分(a>0)的敛散性 

    解 当p1时  

    当p<1时  

    当p>1时  

    因此 当p>1时 此反常积分收敛 其值为 当p1时 此反常积分发散 

    二、无界函数的反常积分

 定义2  设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取 >0 如果极限

存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作 即

这时也称反常积分收敛 

    如果上述极限不存在 就称反常积分发散 

    类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取 >0 如果极限

存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作 即

这时也称反常积分收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分发散 

 设函数f(x)在区间[a b]上除点c(a与

都收敛 则定义

否则 就称反常积分发散 

 瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界

 定义2   设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为

 在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 

 类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为

 函数f(x)在[a c)(c b] (c为瑕点)上的反常积分定义为

反常积分的计算 

 如果F(x)为f(x)的原函数 则有

可采用如下简记形式 

  

类似地 有

  

当a为瑕点时 

当b为瑕点时 

当c (acb )为瑕点时 

  

    例4 计算反常积分 

    解 因为 所以点a为被积函数的瑕点 

 例5 讨论反常积分的收敛性 

 解 函数在区间[1 1]上除x0外连续 且 

    由于 

即反常积分发散 所以反常积分发散 

 例6 讨论反常积分的敛散性 

 解 当q1时  

    当q>1时  

    当q<1时  

    因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为 当q1时 此反常积分发散