2019-2020学年湖北省武汉市青山区九年级(上)期中数学试卷解析版

一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．

1．（3分）一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为（　　）

A．﹣6 B．3 C．1 D．6

2．（3分）近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

3．（3分）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则y1，y2的大小关系是（　　）

A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断

4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3

5．（3分）抛物线y＝2x2向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线是（　　）

A．y＝2（x+2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2+3

C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3

6．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°

7．（3分）如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的．如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为（　　）

A．（5，2） B．（2，5） C．（2，1） D．（1，2）

8．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则根据题意列方程为（　　）

A．200（1+x）2＝1000

B．200+200（1+x）2＝1000

C．200（1+x）3＝1000

D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000

9．（3分）如图，四边形ABCD内接于半径为5的⊙O，且AB＝6，BC＝7，CD＝8，则AD的长度是（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．

有以下结论：①abc＞0；②7a+c＜0；③a+b≤m（am+b）（m为任意实数）④若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．其中正确结论的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置

11．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝　   　．

12．（3分）若点A（a，4）与点B（﹣3，b）关于原点成中心对称，则a+b＝　   　．

13．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝100°，则∠ADE＝　   　．

14．（3分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的距离是　   　m．

15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AB＝AC，BD＝，CD＝3，则AD＝　   　．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为　   　．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17．（8分）解方程：

（1）x2+2x＝0．

（2）x2﹣4x﹣7＝0．

18．（8分）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣4），且过点（0，﹣3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与x轴交点的坐标．

19．（8分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？

20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为边AC的中点，请按下列要求作图，并解决问题：

（1）作点D关于BC的对称点O；

（2）在（1）的条件下，将△ABC绕点O顺时针旋转90°，

①画出旋转后的△EFG（其中A、B、C三点旋转后的对应点分别是点E、F、G）；

②若∠C＝a，则∠BGC＝　   　．（用含a的式子表示）

21．（8分）已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点

（1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD；

（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．

22．（10分）某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元．试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设每天销售量为y件，销售单价为x元．

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？

（3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（0＜a≤6）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，求a的值．

23．（10分）已知，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O是边AC的中点，连接OB，将△AOB绕点A顺时针旋转α°至△ANM，连接CM，点P是线段CM的中点，连接PB，PN．

（1）如图1，当α＝180时，请直接写出线段PN和PB之间满足的位置和数量关系；

（2）如图2，当0＜α＜180时，请探索线段PN和PB之间满足何位置和数量关系？证明你的结论

（3）当△AOB旋转至C，M，N三点共线时，线段BP的长为　   　．

24．（12分）如图，直线l：y＝3x﹣3分别与x轴，y轴交于点A，点B，抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C是第四象限抛物线上一动点，连接AC，BC．

①当△ABC的面积最大时，求点C的坐标及△ABC面积的最大值；

②在①的条件下，将直线l绕着点A逆时针方向旋转到直线l'，l'与线段BC交于点D，设点B，点C到l'的距离分别为d1和d2，当d1+d2最大时，求直线l旋转的角度．

2019-2020学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．

1．【解答】解：3x2+1＝6x化为3x2﹣6x+1＝0，

∴一次项系数为﹣6，

故选：A．

2．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．

3．【解答】解：∵点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，

∴当x＝﹣1时，y1＝﹣1，

当x＝2时，y2＝﹣10，

∴y1＞y2，

故选：A．

4．【解答】解：x2﹣4x+1＝0，

x2﹣4x＝﹣1，

x2﹣4x+4＝﹣1+4，

（x﹣2）2＝3，

故选：D．

5．【解答】解：抛物线y＝2x2向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线是y＝2（x﹣2）2+3，

故选：D．

6．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ABD＝50°，

∴∠A＝40°，

∴∠C＝40°．

故选：C．

7．【解答】解：如图，分别连接AD、CF，然后作它们的垂直平分线，它们交于P点，则它们旋转中心为P，

根据图形知道△ABC绕P点顺时针旋转90°得到△DEF，

∴P的坐标为（5，2）．

故选：A．

8．【解答】解：二月份的营业额为200×（1+x），三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，

为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．

故选：D．

9．【解答】解：作直径AE，连接EB，DE．

∵AE是直径，

∴∠ABE＝∠ADE＝90°，

∴BE＝＝＝8，

∵CD＝BE＝8，

∴＝，

∴＝，

∴DE＝BC＝7，

∴AD＝＝＝，

故选：A．

10．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，

﹣＞0，

∴abc＞0，故①正确；

②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，

∴4a+4a+c＝0，

∴8a+c＝0，

∴7a+c＝﹣a，

∵a＞0，

∴﹣a＜0，

∴7a+c＜0，故②正确；

③由图象可知，当x＝1时，函数有最小值，

∴a+b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），

∴a+b≤m（am+b），故③正确；

④∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，

∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故④正确；

⑤∵图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），

∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）

若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣1，

即方程a（x+2）（x﹣4）＝1的两根为x1，x2，

则x1、x2为抛物线与直线y＝1的两个交点的横坐标，

∵x1＜x2，

∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；

故选：C．

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置

11．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，

∴x1•x2＝＝3．

故答案为3．

12．【解答】解：∵点A（a，4）与点B（﹣3，b）关于原点成中心对称，

∴a＝3，b＝﹣4，

∴a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣1．

故答案为：﹣1．

13．【解答】解：∵∠B＝100°，

∴∠ADE＝100°．

故答案为：100°．

14．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，

解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），

所以推铅球的距离是10米．

15．【解答】解：过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接DE，

∵∠EAD＝∠CAB＝90°，

∴∠DAB＝∠EAC，

在△ACE与△ABD中，，

∴CE＝BD＝，

∵∠ADE＝∠ADC＝45°，

∴∠EDC＝90°，

∵CD＝3，

∴DE＝＝＝4，

∴AD＝DE＝4，

故答案为：4．

16．【解答】解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，

∴∠EDN+∠DEN＝90°，

∵∠EDC＝90°，

∴∠EDN+∠CDM＝90°，

∴∠DEN＝∠CDM，

在△EDN和△DCM中

∴△EDN≌△DCM（AAS），

∴EN＝DM，

∵∠BAC＝120°，

∴∠MAC＝60°，

∴∠ACM＝30°，

∴AM＝AC＝6＝3，

∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，

设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，

∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，

∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为，

故答案为．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17．【解答】解：（1）∵x2+2x＝0，

∴x（x+2）＝0，

∴x＝0或x＝﹣2；

（2）∵x2﹣4x﹣7＝0，

∴x2﹣4x＝7，

∴x2﹣4x+4＝11，

∴（x﹣2）2＝11，

∴x＝2±；

18．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣4，

∵该抛物线过点（0，﹣3），

∴﹣3＝a（0+1）2﹣4，

解得，a＝1，

∴该抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；

（2）当y＝0时，

0＝（x+1）2﹣4，

解得，x1＝1，x2＝﹣3，

即抛物线与x轴交点的坐标是（1，0），（3，0）．

19．【解答】解：设小路的宽应为xm，

根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，

解得：x1＝1，x2＝16．

∵16＞9，

∴x＝16不符合题意，舍去，

∴x＝1．

答：小路的宽应为1m．

20．【解答】解：（1）如图，点O为所作；

（2）①如图，△EFG为所作；

②∵点O与点D关于BC对称，

∴∠OCB＝∠DCB＝α，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝α，

∴∠BOC＝180°﹣2α，

∵∠COG＝90°，

∴∠BOG＝180°﹣2α+90°＝270°﹣2α，

∵OB＝OG，

∴∠OGB＝[180°﹣（270°﹣2α）]＝α﹣45°，

∴∠BGC＝∠OGC﹣∠OGB＝45°﹣（α﹣45°）＝90°﹣α．

故答案为90°﹣α．

21．【解答】解：（1）如图1，延长DO交BC于F，

∵点D为优弧BC的中点，

∴＝，

∴DF⊥BC，

∵AC为⊙O的直径，

∴AB⊥BC，

∴AB∥OD；

（2）连接DO并延长交BC于F，

∵点D为优弧BC的中点，

∴＝，

∴DF⊥CB，

∴CF＝BC＝4，

∵DE⊥AC，

∴∠DEO＝∠OFC＝90°，

∵∠DOE＝∠COF，OC＝OD，

∴△DOE≌△COF（AAS），

∴OF＝OE＝OA﹣3，

∵OC2＝OF2+CF2，

∴OC2＝（OC﹣3）2+42，

∴OC＝，

∴⊙O的半径为．

22．【解答】解：（1）由题意得，y＝250﹣10（x﹣35）＝﹣10x+600；

即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+600（30≤x≤38）；

（2）根据题意得，（﹣10x+600）（x﹣20）＝3840，

解得：x1＝36，x2＝44，

∵30≤x≤38，

∴x＝36，

答：当销售单价是36元时，网店每天获利3840元；

（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W，

根据题意得，W＝（﹣10x+600）（x﹣20﹣a）＝﹣10x2+（800+10a）x﹣600（20+a），

∵对称轴x＝40+a，

∵30≤x≤38，∵0＜a≤6

∴40＜a+40≤43

∴x＝40+a时，

每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，

（﹣10（40+a）+600）（40+a﹣20﹣a）＝3300

（200﹣5a）（20﹣a）＝3300

整理得a2﹣80a+280＝0

解得a1＝40﹣2≈3.6，a2＝40+2（舍去）．

答：a的值为3.6．

23．【解答】解：（1）如图1中，结论：PB＝PN，PB⊥PN．

理由：当α＝180°时，C，A，N共线，B，A，M共线，

∵∠CNM＝∠CBM＝90°，PC＝PM，

∴PB＝PC＝PM＝PN，

∴C，B，N，M四点共圆，

∴∠BPN＝2∠BMN，

∵∠AMN＝45°，

∴∠BPN＝90°，

∴PB＝PN，PB⊥PN．

（2）如图2中，结论：PB＝PN，PB⊥PN．

理由：延长BP到G，使得PG＝PB，连接GM，GN，BN．

∵PC＝PM，∠CPB＝∠MPG，PB＝PG，

∴△CPB≌△MPG（SAS），

∴BC＝GM＝AB，∠BCP＝∠GMP＝∠1+45°，

∴∠GMN＝360°﹣∠GMN﹣∠2﹣∠AMN＝360°﹣∠1﹣45°﹣∠2﹣45°＝270°﹣∠1﹣∠2，

∵∠BAN＝45°+∠CAM+45°＝90°+（180°﹣∠1﹣∠2）＝270°﹣∠1﹣∠2，

∴∠NMG＝∠BAN，

∴AB＝MG，AN＝NM，

∴△BAN≌△GMN（SAS），

∴BN＝GN，∠BNA＝∠GNM，

∴∠BNG＝∠ANM＝90°，

∵PB＝PG，

∴PN＝PB＝PG，PN⊥BG，

即PB＝PN，PN⊥PB．

（3）①如图3﹣1中，连接BM．

当C，M，N共线时，∵∠CNA＝90°，AC＝2AN，

∴∠ACN＝30°，

∵∠NMA＝∠MCA+∠MAC＝45°，

∴∠CAM＝15°，

∵∠MAB＝∠VAM+∠OAB＝60°，

∵AB＝AM，

∴△ABM是等边三角形，

∴BA＝BM＝BC，

∵PC＝PM，

∴BP⊥CM，

∵AB＝BC＝4，

∴AC＝4，

∴AN＝OA＝2，CN＝AN＝2，

∴CM＝CN﹣MN＝2﹣2，

∴PC＝﹣，

∴PB＝＝＝+．

②如图3﹣2中，当C，N，M共线时，同法可证∠ACN＝30°，∠BAN＝15°，∠BAM＝60°，

∴△ABM是等边三角形，

∴BM＝BA＝BC，

∵PC＝PM，

∴BP⊥CM，

∴PB＝＝＝﹣，

综上所述，满足条件的BP的值为±．

故答案为±．

24．【解答】解：（1）令x＝0代入y＝3x﹣3，

∴y＝﹣3，

∴B（0，﹣3），

把B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+a﹣4，

∴﹣3＝a﹣4，

∴a＝1，

∴二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图1，连结OC，

令y＝0代入y＝3x﹣3，

∴0＝3x﹣3，

∴x＝1，

∴A的坐标为（1，0），

由题意知：C的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），

S△ABC＝S四边形OACB﹣S△AOB

＝S△OBC+S△OAC﹣S△AOB

＝﹣

＝＝，

∴当m＝时，S取得最大值，

当m＝时，m2﹣2m﹣3＝，

∴点C的坐标为（，﹣），△ABC面积的最大值为；

（3）如图2，过点B作BN垂直于l′于N点，过点C作CM垂直于l′于M点，直线l'交BC于点D，则BN＝d1，CM＝d2，

∵S△ABC＝×AD×（d1+d2）

当d1+d2取得最大值时，AD应该取得最小值，当AD⊥BC时取得最小值．

根据B（0，﹣3）和C（，﹣）可得BC＝＝，

∵S△ABC＝×AD×BC＝，

∴AD＝，

当AD⊥BC时，cos∠BAD＝，

∴∠BAD＝45°．

即直线l旋转的角度是45°．