(完整版)圆锥曲线常见题型及答案

一、基础题   

    涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：

（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；

（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在轴和轴的两种（或四种）情况；

（3）注意，，，的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中，双曲线中，离心率，准线方程；

例题：

 （1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （   ）

A． B． C．        D．（答：C）；

（2）方程表示的曲线是_____                    （答：双曲线的左支）

（3）已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____             （答：2）

（4）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____            （答：）； 

（5）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）；

（6）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）

二、定义题   

对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；

圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：

①范围：；    ②焦点：两个焦点；

③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；     ④准线：两条准线；

⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

例：（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）

（2）双曲线（以（）为例）：

①范围：或；②焦点：两个焦点；

③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤两条渐近线：。

⑥离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；

例：（3）双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,则双曲线的离心率为______  

（4）双曲线的离心率为，则=            （答：4或）； 

（5）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：）； 

（3）抛物线（以为例）：

①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；

③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。

     （4）点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；                 2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内

例：（6）设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；

（7）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：）；

（8）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（9）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答：）；

（10）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：）；

三、直线与圆锥曲线的关系题   

（1）写直线方程时，先考虑斜率存在，把直线方程设为的形式，但随后应对斜率不存在的情况作出相应说明，因为不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；

（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去或消去，得到方程   ①或  ②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。

（3）当方程①或②的二次项系数时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；

（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，

  过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）

（4）当方程①或②的二次项系数时，判别式△、△、△，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△来求斜率的范围；

例题：

（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； 

（2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：）；

（3）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； 

（4）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；

（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提，△），记为，其中，，的坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出，再代入直线方程求，或由方程②求出，再代入直线方程求。

（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程  ①求出，

    ，在直线上，∴，，

,∴

。 

 请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去，得到  ②，继而用韦达定理，求出，,∴

；

（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②

（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

（7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程  ①求出，设弦的中点为，则，点也在直线上，∴。

如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率有关，而不涉及弦长，则可把弦的坐标，直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有、、、，这些都与弦中点坐标和弦的斜率有关。（点差法）

（8）弦满足有关的向量的条件，如（为原点），则， ，，∴.

又如过椭圆的右焦点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

例：（1）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：2）；

（2）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是        （答：）；

（3）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；

（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。

如（4）与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：）

（5）．经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB，

（1）求|AB|

（2）求三角形的周长，（F1是左焦点）

（6）．已知抛物线与直线y=k(x+1)相交于A、B两点

（1）求证：

（2）当，求k的值。

（7）已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点    

        ， 求证：为定值.

    解: 将代入中得 

            ， 

 ，

所以 

。

（8）过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

四、关于圆锥曲线的最值

（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标，用两点间的距离公式表示距离，利用点的坐标满足圆锥曲线方程，消去（或消去），把表示成（或）的二次函数，因为（或）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。

（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。

例：（1）椭圆x^2/3+y^2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离；

五、求动点的轨迹方程

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

注意：不重合的两条直线与，的法向量为：，方向向量为，

∥且；

（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立之间的关系；

(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：或）；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

（2）线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为                    （答：）；　

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(3)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为                    （答：）；

（4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）；

(5) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为        （答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；

(6)动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）；

（7）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；

（8）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：）；

（9）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）；

（14全国卷）

20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设，由条件知，，得，

又，所以

故的方程为………………………………………………5分

（Ⅱ）当轴时不合题意，故设，，将代入得

当，即时，

从而

又点到直线的距离，所以的面积

……………………9分

设，则，

因为，当且仅当，即时等号成立，且满足

所以当的面积最大时，的方程为

或……………………………12分

答案

    一：1.C   2.双曲线的左支

3∵y=x^2/4  即x^2=4y∴焦点F为（0,1）准线：y=-1

过点P作PM⊥y=-1于M∴│PM│=│PF│

∴y+|PQ|=│PM│+|PQ|-1=│PF│+|PQ|-1

∵当F,P,Q三点共线时│PF│+|PQ|最小

（│PF│+|PQ|）min=√[（2√2）^2+1]=3

∴（y+|PQ|）min=（│PF│+|PQ|-1）min=3-1=2

4.）；    5.；             6.

二：1.    3或       

2.设焦点在x轴上,则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形,底边长为2c,面积最大时,底边上的高最大,即该动点必须位于椭圆与y轴的交点上,即此时高为b,即 2c*b/2=1,bc=1,c=1/b

而c^2= a^2-b^2 =(1/b)^2  即a^2= b^2 +(1/b)^2 ≥2

a≥√2  长轴2a≥2√2

3.（1）焦点在x轴上,渐近线y=±(b/a)x∴ b/a=3/4

∴ b=3t, a=4t ∴ c=5t  ∴ e=c/a=5/4

（2）焦点在y轴上,渐近线y=±(a/b)x∴ a/b=3/4

∴ a=3t, b=4t   ∴ c=5t  ∴ e=c/a=5/3 

4.    4或

5.   e=c/a∈[√2,2],

∴cos[(π-θ)/2]=a/c∈[1/2,1/√2],      ∴(π-θ)/2∈[π/4,π/3],

∴π-θ∈[π/2,2π/3],                  ∴θ的取值范围是[π/3,π/2].

6.         7.            8.   7         9.  （ ）   10. 

    三：  1、2    2.

显然该抛物线焦点是（2,0）这个点在x=5上.解方程组x=5,y²=8x ,

则x=5,y=2√10.∴该点坐标为（5,2√10）.

用公式算得该点至抛物线距离为7.

2.设直线为y=kx+a,∵过（0,2）点,∴可得a=2

y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点

也就是方程组x2/9-y2/16=1；y=kx+2}只有一组解

将y=kx+2代入x2/9-y2/16=1得到：

(16-9k2)x2-18kx-180=0

就此讨论：

当16-9k2=0时,方程只有一组解,也就是k=±(4/3)时,方程

只有一组解

当16-9k2不等于0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件

也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值

3：∵椭圆，∴且，直线恒过定点，欲使其与椭圆恒有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即：，∴，选C.

4.  X^2 - Y^2/2 =1   c²=1+2=3       F(√3,0)

过F且垂直x轴的直线是x=√3    代入则y²=4     y=±2

所以此时AB=2-(-2)=4       所以这里有一条

且AB都在右支时其他的直线则AB都大于4         所以AB都在右支只有1条

直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时, 顶点是(-1,0),(1,0)

顶点距离是2<4 所以也有两条,关于x轴对称   所以共有3条

1.  2        2.       3.          4.   

5

6、（1）将y=k(x+1)代入y^2=-x,  设A（X1,y1）,B(X2,y2)

易得X1+X2=-(2k^2+1)/k^2,X1*X2=1

y1*y2=k^2(X1+1)(X2+1)=-1

0A斜率K1为y1/X1,0B斜率K2为y2/X2,

所以K1*K2=-1得证

（2）1/2(根x1^2+y1^2*根下x2^2+yx^2)=根10  （x1^2+y1^2）*（x2^2+yx^2）=40

x1^2x2^2+(x1^2+y2^2+x2^2y1^2)=40              2-(x1^2x2+x2^2x1)=40

x1x2(x1+x2)=-38      (2k^2+1)/-k^2=-38     k^2=1/36         k=-1/6

7、7、解: 将代入中得 

            ， 

 ，

所以 

。

8.设直线与椭圆的交点为、

    为的中点   　　

又、两点在椭圆上，则，

两式相减得

于是

即，故所求直线的方程为，即。

四、 1.解：将直线L向椭圆方向平移至直线L’:x-y+c=0，使直线L’与椭圆恰好相切，切点为P，

把x=y-c代入椭圆方程x^2/3+y^2=1……（1）,

得 （y-c)^2/3+y^2=1

 整理得：4y^2-2cy+c^2-3=0 

由△=0得4c^2-4×4×(c^2-3)=0

c=±2 

即直线L’方程为:x-y±2=0 

方程为:x-y+2=0……（2） 符合题意

解（1）、（2）得P点坐标为（-3/2,1/2）。

∴点P到直线L:x-y+4=0的距离的最小值为：d=|-3/2-1/2+4|/√2=√2/2。

五、1. 或）；

2.       3.            4.   5.双曲线的一支

6.            7.   

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设，由条件知，，得，

又，所以

故的方程为………………………………………………5分

（Ⅱ）当轴时不合题意，故设，，将代入得

当，即时，

从而

又点到直线的距离，所以的面积

……………………9分

设，则，

因为，当且仅当，即时等号成立，且满足

所以当的面积最大时，的方程为

或……………………………12分