《二次根式的除法》教案

1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点)

2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)

一、情境导入

计算下列各题，观察有什么规律？

(1)＝________；＝________．

(2)＝________；＝________．

________；________.

二、合作探究

探究点一：二次根式的除法

【类型一】 二次根式的除法运算

 计算：

(1)；(2)－÷；

(3)；(4)÷.

解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．

解：(1)＝＝＝2；

(2)－÷＝－＝－＝－＝－3；

(3)＝＝；

(4)÷＝－÷5＝－××＝－×＝－.

方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．

【类型二】 二次根式的乘除混合运算

 计算：

(1)9÷3×；

(2)a2··b÷.

解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．

解：(1)原式＝9×××＝18；

(2)原式＝a2·b·＝.

方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．

探究点二：商的算术平方根的性质

【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

 若＝，则a的取值范围是(　　)

A．a＜2  B．a≤2

C．0≤a＜2  D．a≥0

解析：根据题意得解得0≤a＜2.故选C.

方法总结：运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．

【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式

 化简：

(1)；　　(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．

解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．

解：(1)＝＝＝；

(2)＝＝.

方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．

探究点三：最简二次根式

 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．

(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．

解：(1)＝3，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；

(2)＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；

(3)，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；

(4)＝＝，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；

(5)＝＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．

方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

探究点四：二次根式除法的综合运用

 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?

解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．

解：∵T＝2π≈1.42，＝≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．

方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．

三、板书设计

1．二次根式的除法运算

2．商的算术平方根

3．最简二次根式

被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．