北京市海淀区2014届九年级上学期期中考试数学试题及答案(WORD版)

数学试卷

（分数：120分时间：120分钟）         2013.11

班级姓名学号  成绩

试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上做答无效.

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是

A.         B.          C.     D.  

2．在角、等边三角形、平行四边形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A．角B．等边三角形 C．平行四边形 D．圆

3．函数中，自变量的取值范围是

A． B． C． D． 

4．如图，点、、在上，若，则的大小是

A． B． 

C． D． 

5．用配方法解方程,配方正确的是

A． B． 

C． D． 

6．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是

A． B． 

C． D． 

7．若，则的值为

A．-1         B．1        C．5          D．6

8．如图，⊙的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为

A．3           B．4

C．5                  D．6

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．如图，将绕点顺时针旋转至的位置，若

，，则的大小为________．

10．已知一元二次方程有一个根是0，那么这个方程可以是                           

（填上你认为正确的一个方程即可）．

11．如图，是⊙的直径，点、为⊙上的两点，若

，则的大小为．

12．下面是一个按某种规律排列的数阵：

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：．

14．用公式法解一元二次方程：．

15．如图，与均是等边三角形，连接BE、CD．请在图中找出一条与长度相等的线段，并证明你的结论．

结论：．

证明：

16．当时，求代数式的值．

17．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点．

求证： =．

证明：

18．列方程（组）解应用题：

如图，有一块长20米，宽12米的矩形草坪，计划沿水平和竖直方向各修一条宽度相同的小路，剩余的草坪面积是原来的，求小路的宽度．

解：

四、解答题（每小题5分，共20分）

19．已知关于x的一元二次方程的一个根为2.

(1) 求m的值及另一根；

（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．

20．如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=10，延长DE到A，使得EA=1，直线与半圆交于、两点，且．

（1）求弦BC的长；

（2）求的面积．

21．已知关于的方程有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）求证：不可能是此方程的实数根．

22．阅读下面的材料：

小明在研究中心对称问题时发现：

如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.

图2

图1

（1）请在图2中画出点、， 小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为，点的坐为．

图3

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程的两个实数根都是整数，求的整数值；

（3）若此方程的两个实数根分别为、，

求代数式的值．

24．已知在中，，，于，点在直线上，，点在线段上，是的中点，直线与直线交于点.

（1）如图1，若点在线段上，请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：___________，___________；

（2）在（1）的条件下，当点在线段上，且时，求证：；

（3）当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得．若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由．

图1

备用图

25．在平面直角坐标系xOy中，点、分别在轴、轴的正半轴上，且，点为线段的中点．

（1）如图1，线段的长度为________________；

（2）如图2，以为斜边作等腰直角三角形，当点在第一象限时，求直线所对应的函数的解析式；

（3）如图3，设点、分别在轴、轴的负半轴上，且，以为边在第三象限内作正方形，请求出线段长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式．

图2

图3

图3

图1

海淀区九年级第一学期期中练习

2013.11

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知:

1.为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.

2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.

3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

9．45°；10． (二次项系数不为0,且常数项为0均正确)；11．50°；12．， (每空2分)．

三、解答题（本题共30分,每小题5分）

13．（本小题满分5分）

解： 

………………………………………………………………………2分

…………………………………………………………………4分

.……………………………………………………………………………5分

14．（本小题满分5分）

解：原方程可化为，……………………………………………………1分

,

…………………………………………………………2分

方程有两个不相等的实数根,

，……………………………………4分

即．……………………………………………………5分

15．（本小题满分5分）

结论:．……………………………………………………………………1分

证明：△与△是等边三角形，

∴，，．…2分

∴，

即．………………………………3分

在△和△中，

∴△≌△．…………………………………………………………4分

∴BE．…………………………………………………………………5分

16．（本小题满分5分）

解： ，

∴．

∴．………………………………………………………………1分

∴．………………………………………………………………2分

∴．…………………………………………………………………3分

∴．……………………………………………………5分

17．（本小题满分5分）

证明：过点作于，…………………………1分

由垂径定理可得．……………3分

∴．…………………………4分

即．…………………………………………5分

18．（本小题满分5分）

解：设小路的宽度是x米．………………………………………………………1分

由题意可列方程，．……………………………2分

化简得,．

解得,．………………………………………………………3分

由题意可知不合题意舍去，符合题意.…………………4分

答：小路的宽度是2米.……………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．（本小题满分5分）

解：（1）∵关于x的一元二次方程的一个根为2，

∴.……………………………………………………1分

∴.……………………………………………………………………2分

∴一元二次方程为.

解得.…………………………………………………………3分

∴，方程另一根为3.

（2）当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时三角形的周长为2+3+3=8；………………………………………………………………4分

当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，此时三角形的周长为2+2+3=7.  ………………………………………………………………5分

20．（本小题满分5分）

解：（1）过点O作OM⊥BC于M.

由垂径定理可得：BM=CM.…1分

∵,

∴.

∵直径DE=10， EA=1，

∴.

∴.

∴.…………………2分

在Rt△COM中，.

∴.

∴.

∴.……………………………………………………3分

(2)在Rt△AOM中，.

∴.……………………………………………………………………4分

∴.

∵OM⊥AC,

∴.……………………………5分

21．（本小题满分5分）

解：(1)∵关于的方程有两个不相等的实数根,

∴.………………………………………………2分

∴.…………………………………………………………………3分

(2)∵当时，左边=

…………………………………………4分

．

而右边=0,

∴左边右边．

∴不可能是此方程的实数根．……………………………………5分

22.（本小题满分5分）

（1）正确画出点（图略）．………………………………………………1分

．……………………………………………………………………2分

（2）（4， 2）．…………………………………………………………………3分

（0,2）．……………………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23.（本小题满分7分）

解：（1）由题意可知．

．……………………………………………2分

∴此方程总有两个实数根．

（2）方程的两个实数根为，

∴．…………………………………………………………4分

∵方程的两个实数根都是整数，且为整数，

∴．…………………………………………………………………5分

（3）∵原方程的两个实数根分别为、，

∴

．……………………………………………………6分

∴

=

=

=

=5．…………………………………………………………………………7分

24.（本小题满分8分）

（1）⊥， =．……………………………………………………2分

（2）如图，过点A作AG⊥AB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.

∵, ,

∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=.

∴∠GAC=∠MBC=45°.

∵,

∴CD=AD=BD=.

∵是的中点,

∴.

∴.

∵,

∴

∴

∵AG⊥AF,

∴

∴……………………………………………………………………3分

在△和△中，

∴△≌△．

∴CM,．

∴．………………………4分

在△和△中，

∴△≌△．

∴．………………………………………………………5分

∴.

由（1）知⊥，

∴

∴.………………………………………………………………6分

（3）存在.

AF=8.…………………………………………………………………………8分

25.（本小题满分7分）

（1）5;…………………………………………………………………………………1分

（2）如图1, 过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．

∴∠CQB=∠CPA=90°，

∵∠QOP=90°，

∴∠QCP=90°．

∵∠BCA=90°，

∴∠BCQ=∠ACP．

∵BC=AC，

∴△BCQ≌△ACP．

∴CQ=CP．………………………………3分

∵点在第一象限,

∴不妨设C点的坐标为(a，a)(其中)．

设直线OC所对应的函数解析式为，

∴，解得k=1，

∴直线OC所对应的函数解析式为．…………………………………4分

（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM.

∵∠AOB=90°，

∴OM=．

同理ON=5．

∵正方形DGFE，N为DE中点，DE=10，

∴NG=．

在点M与G之间总有MO+ON+NG(如图2)，

由于∠DNG的大小为定值，只要,且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线,此时等号成立（如图3）.………………………5分

∴线段MG取最大值10+．………………6分

此时直线MG的解析式．……………………………………7分