初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题16 相似三角形的性质

阅读与思考

相似三角形的性质有：

1.对应角相等；

2.对应边成比例；

3.对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；

4.周长之比等于相似比；

5.面积之比等于相似比的平方.

性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.

如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC，设，，试用a、h的代数式表示正方形的边长.

例题与求解

 【例1】如图，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD及CD的延长线相交于E，F，G，若，，则FG的长是            . （“弘晟杯”上海市竞赛试题）

解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中间比的代换.

 【例2】如图，已知△ABC中，DE∥GF∥BC，且，

 则（ ） （黑龙江省中考试题）

A.   

解题思路：△ADE，△AFG都与△ABC相似，用△ABC面积的代数式分别表示△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积.

【例3】如图，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t1，t2，t3的面积分别为4，9和49，求△ABC的面积.（第二届美国数学邀请赛试题）

解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质.

如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到：

1△FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC；

2；

3；

4.

上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独运，请读者给出证明.

【例4】如图，△ABC中，O是三角形内一点，满足.

求证：.（北京大学自主招生考试试题）

解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题. 设P是△ABC内一点，满足，称点P是△ABC的布洛卡点，则有

.

 【例5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，，，. 动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.

（1）求BC的长；

 （2）当MN∥AB时，求t的值；

 （3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.（济南市中考试题）

     解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.

在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相似比的平方.

   【例6】 设△A1B1C1的面积为S1，△A2B2C2的面积为S2，当△A1B1C1∽△A2B2C2，且时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，

，，连接AC.（厦门市中考试题）

 （1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；

 （2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.

解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障..

能力训练

A级

1. 如图，在△ABC与△BED中，若，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为         cm.

 （第1题） （第2题） （第3题）

2. 如图，△ABC中，，DE∥AC. 若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为          

 （苏州市中考试题）

3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DE，CD交于F，且，则            . 

4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为            c（武汉市中考试题）

    5. 如图，□ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O，FE的延长线交CB的延长线于G点，那么（ ）

A.    

 （第5题） （第6题） （第7题）

6. 如图，直角梯形ABCD中，，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且. 将△BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M. 已知，，则的值为（    ）

A.    

（荆州市中考试题）

7. 如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC分别交于点N，M，则下列结论错误的是（    ）

A.    

8. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，N点在CD上. 若，则的值为（ ）

A.    

（第8题） （第9题）

9. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，. 求证：.

10. 如图1，在Rt△ABC中，，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC于点E.

 图1图2

（1）求证：△ABF ∽△COE；

 （2）当O为AC边中点，时，如图2，求的值；

 （3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值.

（武汉市中考试题）

11. 如图，△ABC中，，D在AB边上移动（不与A，B重合），DE∥BC交AC于E，连接CD. 设，.

（1）当D为AB中点时，求的值；

（2）当，，用x的代数式表示y，并求x的取值范围；

（3）是否存在点D，使得？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由.

（福州市中考试题）

 12. 在等腰△ABC中，，. 动点M，N分别在两腰AB，AC上（M不与A，B重合，N不与A，C重合），且MN∥BC. 将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P .

（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上；

（2）设，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式. 当x为何值

时，y的值最大，最大值是多少？                         （宁夏省中考试题）

B级

1. 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB. 若△ADE，△EFG，△GIC的面积分别为20cm2，45 cm2，80 cm2，则△ABC的面积为          .

                    （第1题）                  （第2题）

2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，对角线AC⊥BD于P点，已知，则的值是         .                                         （绍兴市中考试题）

3. 如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP和△CRQ的面积分别是，和，

 那么正方形OPQR的边长是（    ）                      （全国初中数赛试题）

A.            C.2           D.3

（第3题）              （第4题）             （第5题） 

4. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，

 则（    ）                                         （“希望杯”邀请赛试题） 

A   

5. 如图，△ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且. 如果△ABC，△EBD，△ADC的周长依次是m，m1，m2，证明：.

（全国初中数赛试题）

6. 如图，P是△ABC内的一点，等长的三条线段DE，FG和HI分别平行于边AB，BC和CA，并且，，. 求证：.（江苏省竞赛试题）

（第6题）                        （第7题）

7. 如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且，其中n为不小于3的自然数. 求证：为无理数.（上海市竞赛试题）

8. 如图，已知直线l1的解析式为，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为. 又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度. 设移动时间为t秒.

   （1）求直线l2的解析式；

   （2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；

   （3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

（山西省中考试题）

9. 如图，设△ABC三边上的 内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等. 求证：△ABC为正三角形.                  （江苏省竞赛试题）

10. 在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知，连接DE与AF交于点P，连接CP.

   （1）如图1，当时，点B，C，E三点在同一条直线上，求的值.

   （2）如图2，当时，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度.

① 求的值；

② 求证：CP⊥AF.

（3）如图3，当时，请直接写出用含k的式子表示的的值.

             图1                    图2                      图3

11. 在直角梯形ABCD中，CB∥OA，，，，. 分别以OA，OC边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

   （1）求点B的坐标；

   （2）已知D，E分别为线段OC，OB上的点，，，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

（山西省中考试题）

AC=BD