沪科版八年级下册数学期中考试试题及答案

一、单选题

1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，则下列说法中，错误的是（       ）

A．          B．           C．         D．

2．下列计算正确的是（          ）

A．                 B．

C．                       D．

3．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（       ）

A．    B．

C．    D．

4．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（　　　）

A．90°    B．108°    C．120°    D．135°

5．下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（          ）

A．；    B．；    C．；    D．．

6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

7．已知是方程的一个根，则代数式的值应在（       ）

A．4和5之间    B．3和4之间    C．2和3之间    D．1和2之间

8．如图．从一个大正方形中裁去面积为m2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（     ）

A．cm2    B．cm2    C．cm2    D．cm2

9．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染（　　）个人．

A．14    B．16    C．18    D．20

10．如图，在中，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，若，，，则AF长度为（       ）

A．    B．7    C．6    D．20

二、填空题

11．要使二次根式有意义，则x的值是____．

12．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为________ ．

13．如图，、分别是的边、上的点，与相交于点，与相交于点．若，，则阴影部分的面积为__________．

14．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方形连续翻折2010次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2010，则点P2010的坐标是____________．

三、解答题

15．计算：．

16．解方程．

（1）2x2﹣4x﹣3＝0；

（2）（x+1）（x+3）＝15．

17．如图，在四边形中，，点E为边上的中点连接并延长，与的延长线交于点F，连接、，求证：四边形是平行四边形．

18．如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点B处，且，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的A处，另一只猴子乙先爬到项D处后再沿缆绳滑到A处．己知两只猴子所经过的路程相等，设为．求这棵树高有多少米?

19．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．

（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至32.4元，求两次下降的百分率；

（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

20．已知关于的一元二次方程．

（1）试说明该方程总有实数根；

（2）若该方程有一实数根大于1，求的取值范围．

21．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x＋3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．

（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　   　；（只填写序号即可）

①（x﹣1）2＝9；②x2＋4x＋4＝0；③（x＋4）（x﹣2）＝0

（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；

（3）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a＋b＋c＝0和a﹣b＋c＝0，且与（x＋2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．

22．操作探究：

（1）现有一块等腰三角形纸板，为底边，量得周长为，底比一腰多．若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请在下列方框中画出你能拼成的各种四边形的示意图，并在图中标出四边形的各边长；

（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的平方和．

23．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且，连接EO并延长交AD于点F，过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．

(1)求证：；

(2)若，解答下列问题：

①求证：；

②当时，求DF的长．

参

1．D

【分析】

由题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到解答．

【详解】

解：由∠A：∠B：∠C＝1：1：2及∠A+∠B+∠C＝180°可以得到：

∠A=∠B=45°，∠C=90°，故A选项正确，不符合题意；

由上可得∠A=∠B，所以a=b，故B选项正确，不符合题意；

由上知△ABC是直角三角形，所以a2+b2=c2，又因为a=b，所以c2＝2a2，故C选项正确，不符合题意；

由上知a2+b2=c2，故D选项不正确，符合题意；

故选D．

【点睛】

本题考查三角形内角和与比例的综合应用，根据三角形内角和与角的比例求出三角形每个角的度数，再结合特殊三角形的一些性质求解是解题关键．

2．B

【解析】

直接利用合并同类项计算法则及二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．

【详解】

解：A、与不能合并，故此选项错误；

B、，故此选项正确；

C、，故此选项错误；

D、，与不能合并，故此选项错误；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了合并同类项及二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．

3．C

【解析】

【分析】

利用一元二次方程定义进行解答即可．

【详解】

A.含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

B.当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C.由已知方程得到：x²+x-3=0，该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；

D.含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．

4．B

【解析】

【分析】

先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．

【详解】

解：正五边形的内角和=，

∴∠BAE=，

故选：B．

【点睛】

此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．

5．D

【解析】

【分析】

根据勾股定理逆定理判断即可．

【详解】

解： ，，，

∵，且，

∴为三角形的三边可以构成直角三角形，

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是准确进行计算，熟练运用勾股定理逆定理进行判断．

6．C

【解析】

【分析】

由一元二次方程根的情况可以求出n的范围，并可得到一次函数中参数的范围，从而得到问题解答．

【详解】

解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，

解得：n＞2，

∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，

∴该一次函数图象在第一、二、四象限，

故选：C．

【点睛】

本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算和应用、一次函数的图象与性质是解题关键． 

7．A

【解析】

【分析】

先依据一元二次方程的定义得到a的代数式的值整体代入，再对估算，从而可得代数式的取值范围．

【详解】

解：∵是方程的一个根，

∴，即，

∴原式=，

∵，

∴，

∴，即的值在4和5之间，

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．

8．D

【解析】

【分析】

直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．

【详解】

解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，

∴大正方形边长为：，

∴大正方形面积为（5）2=50，

∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm2）

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．

9．C

【解析】

【分析】

据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为361人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x=361．即可解答．

【详解】

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

x+1+（x+1）x＝361，

解得，x＝18或x＝﹣20（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了18个人．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．

10．A

【解析】

【分析】

过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．

【详解】

解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，

得矩形BHFM，

∴∠MBC＝90°，MB＝FH，FM＝BH，

∵AB＝6，5BE＝AE，

∴AE＝5，BE＝，

由折叠的性质可知：GE＝AE＝5，GF＝AF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABN＝∠A＝45°，

∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，

∴EN＝BN＝BE＝1，AM＝BM＝AB＝6，

∴FH＝BM＝6，

在Rt△GEN中，根据勾股定理，得

EN2+GN2＝GE2，

∴12+GN2＝（5）2，

解得GN＝±7（负值舍去），

∴GN＝7，

设MF＝BH＝x，

则GH＝GN﹣BN﹣BH＝7﹣1﹣x＝6﹣x，GF＝AF＝AM+FM＝6+x，

在Rt△GFH中，根据勾股定理，得

GH2+FH2＝GF2，

∴（6﹣x）2+62＝（6+x）2，

解得x＝，

∴AF＝AM+FM＝6+＝ ．

∴AF长度为 ．

故答案为：A．

【点睛】

本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

11．2

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得答案．

【详解】

∵二次根式有意义，

∴x-2≥0，2-x≥0，

∴x=2，

故答案为：2

【点睛】

考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数大于或等于0．

12．

【解析】

【分析】

由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．

【详解】

解：（1）当k=0时，2x-3=0，解得x=；

（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，

∵关于x的方程kx2+2x-3=0有实数根，

∴△=22+12k≥0，解得k≥-，

由（1）、（2）得，k的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．

13．40

【解析】

【分析】

连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．

【详解】

解：如图，连接E、F两点，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，

∴S△EFC=S△BCF，

∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC，

即S△EFQ=S△BCQ，

同理：S△EFD=S△ADF，

∴S△EFP=S△APD，

∵S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，

∴S四边形EPFQ=40cm2，

故答案为：40．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．

14．（4019，）．

【解析】

【分析】

根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1， ）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2010的坐标．

【详解】

解：∵等边三角形的边长为2，

∴P1（1，）；

∵P1P2＝P2P3＝2，

∴P2（3，），P3（5，）；

依此类推，Pn（1＋2n−2，），

即Pn（2n−1，）；

当n＝2010时，P2010（4019，）．

故答案为：（4019，）．

【点睛】

本题考查了图形与坐标，解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．

15．．

【解析】

【分析】

先计算乘方、负指数、0指数和化简二次根式，再加减即可．

【详解】

解：，

=，

=．

【点睛】

本题考查了实数的计算，包括乘方、负指数、0指数和二次根式，解题关键是熟练运用相关法则进行计算和化简．

16．（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝2，x2＝﹣6

【解析】

【分析】

（1）利用公式法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【详解】

解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，

∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，

则x＝＝，

∴x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）整理得：x2+4x﹣12＝0，

∴（x﹣2）（x+6）＝0，

∴x﹣2＝0或x+6＝0，

解得：x1＝2，x2＝﹣6．

【点睛】

本题考查一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的各种解法并能灵活运用是解题关键 ．

17．证明见解析．

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平行四边形的判定即可得证．

【详解】

证明：∵，

∴，

∵E是边的中点，

∴，

在与，，

∴，

∴，

∴四边形的对角线与互相平分，

∴四边形为平行四边形．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．

18．7.5米

【解析】

【分析】

已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．

【详解】

解：设BD为x米，且存在BD+DA=BC+CA，

即BD+DA=15，DA=15-x，

∵∠C=90°，

∴AD2=AC2+DC2，

∴（15-x）2=（x+5）2+102，

∴x=2.5，

∴CD=5+2.5=7.5，

答：树高7.5米．

【点睛】

本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA=BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．

19．（1）10%；（2）2.5元

【解析】

【分析】

（1）设每次降价的百分率为x，（1-x）2为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可；

（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．

【详解】

解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意，得

40×（1-x）2=32.4，

解得，x1=10%，x2=190%（不符合题意，舍去）．

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；

（2）设每件商品降价y元，由题意，得

（40-30-y）（48+8y）=510．

解得　．

有利于减少库存，

y=2.5

答：每天要想获得510元的利润，每件应降价2.5元

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，这种价格问题主要解决价格变化前后的关系，列出方程，解答即可．

20．（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；

（2）求方程两根，结合条件则可求得的取值范围．

【详解】

解：（1）

方程总有两个实数根；

（2）

(x-1)(x-a+1)=0，

，

方程有一实数根大于1，

，

．

【点睛】

本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

21．（1）①②；（2）1或；（3）±1．

【解析】

【分析】

（1）利用题中的新定义判断即可；

（2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值；

（3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值．

【详解】

解：（1）①

解得：，，

②，

解得：，

③，

解得，

所以，属于“同伴方程”的有①②

故答案是：①②；

（2）一元二次方程的解为，，

当相同的根是时，则，解得；

当相同的根是时，则，解得；

综上，的值为1或；

（3）关于的一元二次方程同时满足和，

关于的一元二次方程的两个根是，；

的两个根是，，

关于的一元二次方程与互为“同伴方程”，

或．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键．

22．（1）见解析；（2）200或328或272或192.16

【解析】

【分析】

（1）正确画出图形；

（2）分别根据勾股定理计算四个图形中对角线长的平方和．

【详解】

解：（1）如图所示：

（2）设AB=AC=xcm，则BC=（x+2）cm，

由题意得（x+2）+2x=32，解得x=10cm．

因此AB=AC=10cm，则BC=12cm，

过点A作AD⊥BC于D，

∴BD=CD=6cm，

∴AD=8cm．

可以拼成四种四边形，如上图所示．

如图1，两对角线长的平方和为102+102=200；

如图2，AC2=，

∴两对角线长的平方和为；

如图3，BC2=，

∴两对角线长的平方和为；

如图4，∵×AB×CO＝×AC×BC，

10CO=6×8．

∴CO=4.8cm，CD=9.6cm．

∴两对角线长的平方和为．

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等．

23．(1)见解析

(2)①见解析，②

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到∠OAF＝∠OCE，证明△OAF≌△OCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；

（2）①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，根据三角形的外角性质得到∠BAG＝∠BGA，进而即可得到结论；

②证明△AME≌△BNG，根据全等三角形的性质得到ME＝NG，根据等腰直角三角形的性质得到BE＝GC，根据（1）中结论证明即可．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△OAF和△OCE中，

，

∴△OAF≌△OCE（ASA）

∴AF＝CE，

∵AD＝BC，

∴DF＝BE；

(2)

①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，

则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠MAC＝∠NGC＝45°，

∵AB＝AE，

∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，

∵AE⊥BG，   

∴∠AHK＝90°＝∠BMK，又∠AKH＝∠BKM，

∴∠MAE＝∠NBG，

设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°＋α，

∠BGA＝∠GCN＋∠GBC＝45°＋α，

∴∠BAG＝∠BGA，

∴AB=BG；

②∵∠BAG＝∠BGA，

∴AB＝BG，

∴AE＝BG，

在△AME和△BNG中，

，

∴△AME≌△BNG（AAS），   

∴ME＝NG，

在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，

∴GC＝NG＝ME＝BE，

∴BE＝GC，

∵DF＝BE，

∴DF＝GC＝

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．