贵州2015届高三第一次联考数学(文)试题

秘密★考试结束前 【考试时间：1月 3日14:30—16:30 】

贵州省七校联盟2015届高三第一次联考试卷

文科数学

命题学校：清华中学  

联考学校：贵阳六中 清华中学 遵义四中 凯里一中 都匀一中 都匀二中 安顺一中

   本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

       1. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。

       2．选择题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

第I卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合则的真子集个数为（    ）

A．5                B．6                C．7                D．8

2.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（    ）

A．第一象限                                B．第二象限            

C．第三象限                                D．第四象限

3.已知双曲线的虚轴长是实轴长的两倍，则实数的值是（    ）

A．4                                    B．                

C．                                   D．-4

4.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（   ）

A．①②⑥             B．①②③            C．④⑤⑥              D．③④⑤

5.设直角三角形的直角边长x,y均为区间内的随机数，则斜边长小于的概率为（   ）

A．              B．               C．                 D． 

6.已知函数的图像如图所示，则的解析式可以是（      ）

A．      B．     

C．     D． 

7.在中，是边上的一点，且则的值为（    ）

A．0                B．4                   C．8                 D．-4 

8.以下四个命题中，真命题的个数是（    ）

①“若则中至少有一个不小于1”的逆命题。

②存在正实数，使得

③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”。

④在中，是的充分不必要条件。

A．0                   B．1                 C．2                D．3

9.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则的值为（    ）

A．          B．            

C．             D． 

10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（    ）

A．-1               B．1                  

C．-2                D．2

11.一个平行四边形的三个顶点的坐标为，点在这个平行四边形的内部或边上，则的最大值是（     ）

A．16                  B．18                  C．20                  D．36 

12.已知圆C的方程，P是椭圆上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为（     ）

A．                              B．    

C．                         D． 

第  卷

2、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知扇形AOB（为圆心角）的面积为，半径为2，则的面积为        ，

14.某高有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于　　　　　.

15.已知椭圆与抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且轴,则椭圆的离心率是       

16.已知函数  若函数有3个零点，则实数k的取值范围是       . 

3、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知是等差数列，是等比数列，为数列的前n项和， 

且 

（1）求和

（2）若，求数列的前n项和

18.（本小题满分12分）

如图，几何体中，为边长为的正方形，为直角梯形，，，，，．

（1）求证: 

（2）求几何体的体积．

19.（本小题满分12分）

从某校高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： 后得到如下图的频率分布直方图。

(1) 若该校高三年级有0人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分；

(2)若从这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率。

20.（本小题满分12分）

已知函数 

(1) 当时，求在区间上的最值；

(2) 讨论函数的单调性

(3) 当时，有恒成立求的取值范围

21.（本小题满分12分）

已知中心在原点，左焦点为的椭圆C的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为.

(1) 求椭圆C的方程；

(2)若椭圆方程为：（），

椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆.已知是椭圆C的倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点、，试求弦长的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图5，⊙O1和⊙O2 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点。

   （1）求证：～；

（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值。

23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

已知在一个极坐标系中点C的极坐标为。

（1）求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形

（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点, 极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点， ，是线段的中点，当点P在圆C上运动时，求点的轨迹的普通方程。

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数。

(Ⅰ)当时,求不等式的解集；

(Ⅱ)若对恒成立,求实数a的取值范围。

贵州省六校联盟2015届高三第一次联考试卷

（文科数学）参及评分细则

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

13、     14、 25         15、      16、

三、解答题：（ 共70分。）

17、解：（1）由题意    3分

所以        6分

（2）若，由（1）知，          8分

 10分

12分

18、（1）证明：由题意得，，，且，

∴平面，    ∴，  ………………2分

∵四边形为正方形. ∴

由  ∴  ∴     ………………4分

又∵四边形为直角梯形，，，， 

∴， 则有∴  

由  ∴  ∴        ……………6分

（２）连结，过作的垂线，垂足为，

易见平面，且.…………8分

∵         ……………9分

   ……………11分

 ∴ 几何体的体积为   …………12分

解法二：（传统几何法）略

19、（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，

所以．       …………………………1分

解得．       ………………………………………………………………………2分

根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．……3分

由于高三年级共有学生0人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为人．                          ………………………………………4分

可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为:

45×+55×+65×+75×+85×+95×=74       ………………6分

（2）解：成绩在分数段内的人数为人，      ………………  7分

成绩在分数段内的人数为人，    ……………………………………8分

若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有种            …………………   9分

如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．………   10分

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种      ……     11分   

所以所求概率为．       ………………………………………………………12分 

20、解：（1）当时，，∴ ------1分

∵的定义域为，∴由得．    ------------------2分

∴在区间上的最值只可能在取到，

而，          -----------------3分

∴．      -----------------4分

（2）．

①当，即时，在单调递减；-------------5分

②当时，在单调递增；          ----------------6分

③当时，由得或（舍去）---7分

∴在单调递增，在上单调递减；   ------------------8分

综上，当时，在单调递增； 

当时，在单调递增，在上单调递减． 

当时，在单调递减；                   ---------------9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时， 

即原不等式等价于            ---------------------10分

即     整理得

∴，                                    ---------------------11分

又∵，所以的取值范围为.     ------------------12分

21、解：(1)设椭圆方程为：（），

所以直线方程为：………………………………………………1分

∴到直线距离为…… 2分

又，                    ………………………………………………3分

解得：，              ………………………………………………4分

故：椭圆方程为：.………………………………………………… 5分

(2) 椭圆的倍相似椭圆的方程为： ………………………………6分

①若切线垂直于轴，则其方程为：，易求得………………7分

②若切线不垂直于轴，可设其方程为： 

将代人椭圆方程，得： 

   ∴（*）…8分

记、两点的坐标分别为、

将代人椭圆方程，得：……………9分

此时：，   …11分

∴  …11分

 ∵      ∴   即  

综合①②,得：弦长的取值范围为.………………………………………12分

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

（1）证明：∵AD是两圆的公切线，

    ∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH,

    ∴DE×DG= DF×DH, ∴，

    又∵∠EDF=∠HDG，

∴△DEF∽△DHG。………………………4分

   （2）连结O1 A，O2A，∵AD是两圆的公切线， 

    ∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，

    ∴O1O2共线，

    ∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC， 

    ∴DG⊥DH，∴AD2= O1A×O2A，………………………8分

    设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，

    ∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，

    ∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）

    ∴DE=6x，DF=4x，∴。………………………10分

23.解:(1)如图,设圆C上任意一点     …2分

由余弦定理得:  ∴ 圆C的极坐标方程…4分

作图………….5分                                

(2)在直角坐标系中,点C的坐标为,可设圆C上任意一点 

又令由,是线段的中点             ………….7分  

∴M的参数方程为: ………….9分  

∴点的轨迹的普通方程为: …      ……….10分