2017春高中数学第2章数列2.2等差数列第4课时等差数列前n项和公式的应用课时作业新人教B版必修5

n 项和公式的应用课时作业 新人教B 版必修5

基 础 巩 固

一、选择题

1．四个数成等差数列，S 4＝32，a 2︰a 3＝1︰3，则公差d 等于导学号 27542380( A ) A ．8 B ．16 C ．4

D ．0

[解析] ∵a 2︰a 3＝1︰3，∴

a 1＋d a 1＋2d ＝1

3

，∴d ＝－2a 1， 又S 4＝4a 1＋4×3

2

d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，∴d ＝8.

2．(2015·新课标Ⅱ文，5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5

＝导学号 27542381( A )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

[解析] 解法一：利用等差数列的性质进行求解． ∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝5 a 1＋a 5 2

＝5a 3＝5.故选A ．

解法二：利用等差数列的通项公式和前n 项和公式进行整体运算． ∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3， ∴a 1＋2d ＝1，

∴S 5＝5a 1＋5×4

2

d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A ．

3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2

m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝导学号 27542382( C )

A ．38

B ．20

C ．10

D ．9

[解析] 由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1＝2a m ， ∴2a m ＝a 2

m ，由题意，得a m ≠0，∴a m ＝2.

又S 2m －1＝ 2m －1 a 1＋a 2m －1 2＝2a m 2m －1

2

＝2(2m －1)＝38，∴m ＝10. 4.

13×5＋15×7＋17×9＋…＋1

13×15

＝导学号 27542383( B ) A ．415 B ．2

15 C ．1415

D ．715

[解析] 原式＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(113－115)]＝12(13－115)＝2

15，故选B ．

5．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2

1＝a 2

11，则数列的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是导学号 27542384( C )

A ．5

B ．6

C ．5或6

D ．6或7

[解析] 由a 2

1＝a 2

11，得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0， 又d <0，∴a 1＋a 11＝0.∴a 6＝0.∴S 5＝S 6且最大．

6．在等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d

等于导学号 27542385( A ) A ．9

10 B ．109

C ．2

D ．23

[解析] ∵S 12＝8S 4，∴12a 1＋12×12×11×d ＝8(4a 1＋1

2

×4×3×d )，即20a 1＝18d ，∵

d ≠0，∴a 1d ＝1820＝9

10

.

二、填空题

7．设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋

a 99的值为－82.导学号 27542386

[解析] ∵a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，公差d ＝－2， ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99

＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋33×2d ＝50＋66×(－2)＝－82.

8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2k ＝72，且a k ＋1＝18－a k ，则正整数k ＝4.

导学号 27542387

[解析] S 2k ＝2k

2(a 1＋a 2k )＝k (a k ＋a k ＋1)＝k ×18＝72，

∴k ＝4. 三、解答题

9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.导学号 27542388 (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{

1

a 2n －1a 2n ＋1

}的前n 项和．

[解析] (1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋

n n －1

2

d .

由已知可得⎩

⎪⎨

⎪⎧

3a 1＋3d ＝0

5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1.

由{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知

1

a 2n －1a 2n ＋1＝1

3－2n 1－2n

＝12(12n －3－12n －1)， 从而数列{

1

a 2n －1a 2n ＋1

}的前n 项和为

12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1) ＝n

1－2n

. 10．设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.导学号 275423 (1)求公差d 的取值范围；

(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由． [解析] (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧

S 12

＝12a 1

＋12×11

2

d >0S 13

＝13a 1

＋13×12

2

d <0，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ②

由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③

将③分别代入②①，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

24＋7d >0

3＋d <0，

解得－24

7

(2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0， 故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．

能 力 提 升

一、选择题

1．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为导学号 27542390( C )

A ．0

B ．4 475

C ．8 950

D ．10 000

[解析] 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100 c 1＋c 100 2＝100× 40＋139 2

＝8 950.

2．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是导学号 27542391( D )

A ．a 8

B ．a 9

C ．a 10

D ．a 11

[解析] S 11＝5×11＝55＝11a 1＋11×10

2d ＝55d －55，

∴d ＝2，S 11－x ＝4×10＝40，∴x ＝15， 又a 1＝－5，由a k ＝－5＋2(k －1)＝15得k ＝11.

3．一个凸n 边形各内角的弧度数成等差数列，最小角为2π3，公差为π

36，则n 的值为

导学号 27542392( A )

A ．9

B ．16

C ．9或16

D ．与A 、B 、C 均不相同

[解析] 由题意，得(n －2)π＝n ·2π3＋n n －1 2·π

36，

∴n 2

－25n ＋144＝0，解得n ＝9或16.

当n ＝16时，a 16＝2π3＋15×π36＝39π

36

>π，∴n ≠16.故选A ．

4．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于导学号 27542393( A )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5，

又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1a 3＝21

a 1＋a 3＝10

及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A ． 二、填空题

5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *

.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为110.导学号 27542394

[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .

a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋

20×19

2

d ＝20， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋2d ＝16，

2a 1＋19d ＝2，

解得d ＝－2，a 1＝20.

∴S 10＝10a 1＋10×9

2

d ＝200－90＝110.

6．等差数列{a n }中，d <0，若|a 3|＝|a 9|，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n 的值为5或6.导学号 27542395

[解析] ∵a 1＋a 11＝a 3＋a 9＝0，∴S 11＝11 a 1＋a 11

2

＝0，

根据二次函数图象的性质，由于n ∈N *

，所以当n ＝5或n ＝6时S n 取最大值．

三、解答题

7．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，n ∈N *

.导学号 27542396 (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .

[解析] (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴{a n }是等差数列， 又∵a 4＝a 1＋3d ＝8＋3d ＝2，∴d ＝－2， ∴a n ＝8－2(n －1)＝10－2n .

(2)令10－2n ≥0得n ≤5，

∴当n ≤5时，a n ≥0，当n ≥6时，a n <0. ∴n ≤5时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝8n ＋

n n －1

2

×(－2)＝－n 2

＋9n .

当n ≥6时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2×(－52

＋9×5)－[8n ＋n n －1

2

×(－2)]

＝n 2

－9n ＋40.

∴S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－n 2

＋9n n ≤5，n ∈N *

n 2－9n ＋40 n ≥6，n ∈N *

.

8．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .导学号 27542397 (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝

1a 2

n －1

(n ∈N *

)，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，

∴a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. ∴a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．

(2)∵a n ＝2n ＋1，∴a 2

n －1＝4n (n ＋1)， ∴b n ＝

14n n ＋1 ＝14(1n －1

n ＋1

)．

故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1)＝n 4 n ＋1 ， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n

4 n ＋1

.