2018届江西省南昌市10所省重点中学命制高三第二次模拟

数学（理）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案） 

1．已知i是虚数单位，则在复平面内对应的点位于

  A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．执行如图所示的程序框图，若输入x==2，则输出y的值为

A. 5           B. 9    C. 14    D. 41

3．设，则是

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

4．已知是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是

   A. 直线           B. 圆          C. 椭圆         D. 双曲线

5．已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则

  A．         B． 

  C．         D． 

6．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等比数列，这个数的所有可能值的和为

  A. 9         B. 3        C. 20      D. -11

7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是

8．如果幂函数图像经过不等式组表示的区域，则a的取值范围是

A．        B． 

C．        D． 

9．设数列的前项和为, , ,若   ,则的值为

A.1007            B.1006            C.2018            D.2018

10．如图，三棱锥的底面是正三角形，各条侧棱均相等，．设点

、分别在线段、上，且，记， 

周长为，则的图象可能是

第Ⅱ卷

注意事项：

    第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知实数x，y满足的图象与坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为            

12．已知以为周期的函数，其中。若方程

恰有5个实数解，则的取值范围为              

13．如图,在扇形中, ,为弧上的一个动点.若

，则的取值范围是           ．

14．若函数在给定区间M上存在正数t，使得对于任意，有，且，则称为M上的t级类增函数。给出4个命题

①函数上的3级类增函数

②函数上的1级类增函数

③若函数上的级类增函数，则实数a的最小值为2

④设是定义在上的函数，且满足：1.对任意，恒有；2.对任意，恒有；3. 对任意，，若函数是上的t级类增函数，则实数t的取值范围为。

以上命题中为真命题的是      

三、选做题：请考生在下列两题中选一题，则按所做的一题评分。本题共5分

15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）

    A．（不等式选讲）已知函数．若关于x的不等式的解集是，则的取值范围是                     

    B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线与直线相切，则实数的值为_______

四、解答题：（本大题共6小题，共75分，其中第16—19小题每题12分，第20题13分，第21题14分）

16．（本小题满分12分）

已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形中, , ,为的内角的对边，

且满足.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，设，,

，求四边形面积的最大值.

17．(本小题满分12分)

某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口。安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作。假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵。逃犯在每层选择出口是等可能的。已知他被三楼警员抓获的概率为。

（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？

（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时，他已下了层楼，写出的分布列，并求。

18．（本小题满分12分）

如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； 

（Ⅱ）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知,数列满足,数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，.

（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；

（Ⅱ）将数列中的第项，第项，第项，……，第项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.

20．(本题满分13分) 

    如图，F1，F2是离心率为的椭圆

C： (a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F2，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分） 

     已知函数，（其中，），且函数的图象在      点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若，满足，求实数m的取值范围；

参

三、解答题

 16．解：（Ⅰ）由题意知：，解得：，   ………………………2分

………………………………………4分

……………………………………6分

（Ⅱ）因为，所以，所以为等边三角形

   …………8分

，……………10分

,， 

当且仅当即时取最大值,的最大值为………12分

17．解：（1）设四层下到三层有个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。

    ，解得………………………3分

   （2）可能取值为0,1,2,3,4,5

       ………………………8分

所以，分布列为

………………………12分

18．解：（1）解法1：因为平面平面，且

所以BC⊥平面，则即为直线与平面所成的角………2分

设BC=a，则AB=2a，，所以

则直角三角形CBE中， 

即直线与平面所成角的正弦值为．  ………………………6分       

解法2：因为平面平面，且，

所以平面，所以． 

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 

因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，

则．

所以，平面的一个法向量为．…………3分

设直线与平面所成的角为，

所以，        

即直线与平面所成角的正弦值为．  …………………………6分      

（2）存在点，且时，有// 平面．        

证明如下：由，，所以．

设平面的法向量为，则有

所以  取，得．………………………………9分 

因为，且平面，所以// 平面． 

即点满足时，有// 平面．……………………………………12分 

19．解：   , …………………3分

又由题知：令，则,    ……………5分

若，则，，所以恒成立

若,当,不成立,所以    …………………………………6分

（Ⅱ）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，公比均是…………9分

………………………………………12分

20．解：(Ⅰ) 设F2(c，0)，则＝，所以c＝1．因为离心率e＝，所以a＝．

所以椭圆C的方程为．    …………………………………………4分 

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，……………………6分 

此时P(，0)、Q(,0) ，．不合；

当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M(－，m) (m≠0)，直线AB的斜率为k，，

．由得，则  －1＋4mk＝0，

故k＝．此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为．

即  ．

联立消去y，整理得   ．

所以，．………………………………8分 

由题意0，于是

(x1－1)(x2－1)＋y1y2

                       =0． 

因为M在椭圆内， 符合条件；……………………12分 

综上，存在两点M符合条件，坐标为．……………………13分 

21．解：（Ⅰ）∵，∴，

则在点处切线的斜率，切点，

则在点处切线方程为，……………………2分 

又，∴，

则在点处切线的斜率，切点，

则在点处切线方程为，…………………………4分 

    由解得，．…………………………………………6分 

（Ⅱ）由得，故在上有解，

     令，只需．……………………………………8分 

①当时，，所以；………………………………10分 

②当时，∵，

∵，∴，，∴，

故，即函数在区间上单调递减，

所以，此时．…………………………………………13分 

综合①②得实数m的取值范围是．……………………………………14分