圆锥曲线动点问题

1、（12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围

2、（12分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

题（20）图

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

3.、（本小题满分12分）.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

(1) 求点Q的坐标；

(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

4．如图和两点分别在射线、上移动，且，

为坐标原点，动点满足．

（1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？

（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程．

5．如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且．（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；

（2）若为动点，且，求△的重心的轨迹．

6．已知，记点P的轨迹为E.

    （1）求轨迹E的方程；

   （2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.

（i） 无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值.

         （ii）过P、Q作直线的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围. 

答案

1、解：（Ⅰ）解法一：易知

所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得： 

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或

2、（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而

因此焦点的坐标为（2，0）.

又准线方程的一般式为。

从而所求准线l的方程为。

（Ⅱ）解法一：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

记A、B的横坐标分别为xxxz，则

|FA|＝|AC|＝解得，

类似地有，解得。

记直线m与AB的交点为E，则

    所以。

故。

解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。

将此式代入,得，故。

记直线m与AB的交点为，则

，

，

故直线m的方程为.

令y=0,得P的横坐标故

。

从而为定值。

   由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1= (x－2).

   令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)

  (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).

   ∵点P到直线OQ的距离d==,

   ,∴SΔOPQ==.

  ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

  ∴－4≤x<4－4或4－4  ∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,

  ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.

4、解：（1）由已知得，

∴．

  （2）设P点坐标为（），由得

         ，

∴消去，可得，

又因，∴ P点的轨迹方程为．

它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支．

（3）设直线l的方程为，将其代入C的方程得

                 即  ，

易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）

又，

设，则

∵  l与C的两个交点在轴的右侧

，

∴，即，又由同理可得  ，

  由得，   ∴ 

   由得，

   由得，

消去得考虑几何求法！！

解之得： ，满足．

故所求直线l存在，其方程为：或．

5、思路分析：（1）由直线（或）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用点的坐标将、点的坐标表示出来，进而表示出点坐标，消去即得到的轨迹方程（参数法）.

解：（1）法一：设，直线的斜率为（），

则直线的斜率为，方程为．

∴由，消得，

解得，∴，

∴(定值)．

所以直线的斜率为定值．

法二：设定点，、，

由得，即；同理．

∵，∴，即，∴．

所以，（定值）．

（2）直线ME的方程为

由得

同理可得

设重心G（x, y），则有

消去参数得．

6、 解：（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为

 （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，

    解得k2 >3 

（i）

    ，

    故得对任意的

    恒成立，

    ∴当m =－1时，MP⊥MQ.

    当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，

    综上，当m =－1时，MP⊥MQ. 

（ii）是双曲线的右准线，  

  由双曲线定义得：，

    方法一： 

                              ， 

    注意到直线的斜率不存在时，，

    综上， 

    方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

    ，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则

    由      故：