华南农业大学2012-13年期末高等数学上试卷及答案

2012~2013学年第1 学期　       考试科目：高等数学AⅠ　　

考试类型：（闭卷）考试　　　    考试时间：　120  　分钟

学号              姓名           年级专业                     

1．函数的定义域是          。

2．          。

3．设，则=               。

4．不定积分=                  。

5．反常积分=            。

1．设在点处必定            （     ）

A．连续但不可导               B．连续且可导

C．不连续但可导               D．不连续，故不可导

2．曲线在点处的切线方程是               （     ）

A．                B． 

    C．                D． 

3．设为连续函数，则                  （     ）                                  

A．        B．      C．       D． 

4．设，则                  （     ）

A．          B．          C．              D． 

5．若函数，在内，且，则在内有                                        （     ）

A．            B． 

   C．            D． 

1. 求极限。

2. 设其中具有连续导数且，试确定使连续，并讨论是否连续。

3. 设参数方程确定是的函数，求。 

4．计算不定积分。

5．求函数的极值和拐点。

6．设求。

7．已知是函数的一个原函数，求。

1．证明不等式：当时，。

2．设函数在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使得。

3．设与抛物线所围图形的面积为，该直线与抛物线和直线所围图形的面积为。（1）试确定的值使达到最小；（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积。 

华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2012~2013学年第1 学期　     考试科目：高等数学AⅠ参

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．  2．  3．  4．  5． 

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．A  2．B   3．B   4．D   5．C 

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1. 求极限。

解：．．．．．．．．．．．4分

=．．．．．．．．．．．．．．．7分

2. 设其中具有连续导数且，试确定使连续，并讨论是否连续。

解：，．．．．．．．．．．．．．．．１分

所以当时，连续．．．．．．．．．．．．．．．2分

当时，．．．．．．．．．．．．．3分

．．．．．．．．．．．．．4分

所以

．．．．．．．．．．．．5分

并且有

．．６分

所以在点连续。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分

3. 设参数方程确定是的函数，求。 

解：．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

所以．．．．．．．．．．．７分

4．计算不定积分。

解：令求导，．．．．．．．．．．．．．．2分

．．．．．．．．．．．．．．．．4分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

5．求函数的极值和拐点。

解：．．．．．．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

令，得驻点；．为不可导点．．．．．．．．．．．．．．．3分

令，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

当时取得极大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时取得极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

拐点为。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

6．设求。

解：令．．．．．．．．．．1分

原式．．．．．．．．．．２分

＝．．．．．．．．．．．．3分

＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

7．已知是函数的一个原函数，求。

解：因为是函数的一个原函数

所以．．．．．．．．2分

则．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

＝．．．．．６分

＝．．．．．．．．．．．．７分

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

1．证明不等式：当时，。

证明：设．．．．．．．．．．．．．．．．１分

则．．．．．．．．．．．．．．．．3分

故当时，，即单调递增．．．．．．．．．．．．4分

所以当时，．．．．．．．．．．．．5分

而．．．．．．．．．．．．．．．6分

所以，即．．．．．．．．．．．．．．．．７分

2．设函数在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使得。

证明：令．．．．．．．．．．．．．．．．2分

则在上连续，在内可导．．．．．．．．．．．．．．．．3分

且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

由罗尔定理知，存在，使得

．．．．．．．．．．．．6分

即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分

3．设与抛物线所围图形的面积为，该直线与抛物线和直线所围图形的面积为。（1）试确定的值使达到最小；（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积。 

解：（1）

所以．．．．．．．．．．．2分

令，得或（舍去）

， 

所以当时阴影部分的面积与之和最小．．．．．4分

（2）．．．．．6分

=．．．．．7分