新课标高考数学公式(理科)

1．德摩根公式．

集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个

2． 

3．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式；② 顶点式  ；③零点式．

4．设那么

上是增函数；

上是减函数．

设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．

5．函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称），奇函数定义：在前提条件下，若有或，则是奇函数；性质：①奇函数的图像关于原点对称；②奇函数在对称区间具有相同的单调性；③定义在上的奇函数，有；偶函数定义：在前提条件下，若有，则是偶函数；性质：①偶函数的图像关于轴对称；②偶函数在对称区间具有相反的单调性．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称;反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数．

函数的图像的对称性：①函数的图像关于直线对称．②函数的图像关于直线对称．

6．解析几何与函数的几个常用结论：①点关于轴的对称点是；②点关于轴的对称点是；③点关于原点的对称点是；④点关于直线的对称点是；⑤点关于直线的对称点是；⑥点关于直线的对称点是；⑦点关于直线的对称点是；⑧点关于直线的对称点是；则满足下列两个条件：

7．两个函数图像的对称性：①函数与函数的图像关于直线(即轴)对称．②函数与函数的图像关于直线对称．③函数和的图像关于直线对称．

函数的周期性：对函数，若存在，使得，则就叫是周期函数，其中是的一个周期．周期函数几种常见的表述形式：

①若，此时周期为；②，此时周期为．

常见函数的图像：

8．分数指数幂（，且）．

（，且）．

9．．对数性质：

①；②；

③；④；

⑤；⑥；⑦；⑧ 

10．对数的换底公式．推论．

11． ( 数列的前项的和为)．

12．等差数列的通项公式；

其前项和公式．

常用性质：①若，则有；注：若的等差中项，则有2、、成等差．②若、为等差数列，则为等差数列；③为等差数列，为其前项和，则也成等差数列；④；⑤．

13．等比数列的通项公式；

其前项的和公式或．

常用性质：①若，则有；注：若的等比中项，则有、、成等差．②若、为等比数列，则为等比数列．

14．等比差数列：的通项公式为

；

其前项和公式为．

15．同角三角函数的基本关系式，＝，．

16．正弦、余弦的诱导公式

； 

17．和角与差角公式

；

；

．

(平方正弦公式)；

．

＝(辅助角所在象限由点的象限决定， )．

18．二倍角公式  ．

．．

19．三角函数的周期公式 函数，及函数， (为常数，且)的周期；函数， (为常数，且)的周期．

三角函数的图像：

20．正弦定理 （为△外接圆的半径）．

21．余弦定理；；．

22．面积定理（1）（分别表示、、边上的高）．

（2）．

23．三角形内角和定理  在中，有

．

24．平面两点间的距离公式

＝ (，)．

25．向量的平行与垂直 设，，且，则

∥．

⊥．

26．三角形五“心”向量形式的充要条件：

设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

①为的外心.

②为的重心.

③为的垂心.

④为的内心.      

⑤为的的旁心.

27．三角形的重心坐标公式三个顶点的坐标分别为、、，则的重心的坐标是．

28．点的平移公式(图形上的任意一点在平移后图形上的对应点为，且的坐标为)．

29．常用不等式：

（1） (当且仅当时取“＝”号)．

（2） (当且仅当时取“＝”号)．

（3）

（4）柯西不等式

（5）

30．极值定理  已知都是正数，则有

（1）如果积是定值，那么当时和有最小值；

（2）如果和是定值，那么当时积有最大值．

（3）已知，若则有

．

（4）已知，若则有

31．一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．

；

．

32．含有绝对值的不等式 当时，有

．

或．

33．无理不等式（1）．

（2）．

（3）．

34．指数不等式与对数不等式 (1)当时，

；．

(2)当时，

； 

35．斜率公式（、）．

36．直线的四种方程 

（1）点斜式(直线过点，且斜率为)．

（2）斜截式(为直线在轴上的截距)．

（3）两点式  ()(、())．

两点式的推广：（无任何条件！）

（4）截距式  (分别为直线的横、纵截距，)

（5）一般式  (其中、不同时为0)．

直线的法向量：，方向向量： 

37．两条直线的平行和垂直

（1）若， 

①；②．

（2）若，，且、、、都不为零，

①；②；

38．点到直线的距离(点，直线：)．

39．圆的四种方程

（1）圆的标准方程．

（2）圆的一般方程(＞0)．

（3）圆的参数方程．

（4）圆的直径式方程(圆的直径的端点是、)．

40．点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：

若，则点在圆外;

点在圆上;         点在圆内.

直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种():

;;.

两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为，，半径分别为，，，则：

外离4条公切线；

外切3条公切线；

相交2条公切线；

内切1条公切线；

内含无公切线；

41．椭圆的参数方程是．离心率，

准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)．

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：.

42．椭圆焦半径公式  ，．

两焦半径与焦距构成三角形的面积:；

椭圆的的内外部:

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

椭圆的切线方程:

（1）椭圆上一点处的切线方程是.

（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.

（3）椭圆与直线相切的条件是.

43．双曲线的焦半径公式

，．

双曲线的离心率，准线到中心的距离为，

焦点到对应准线的距离(焦准距)．过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.

两焦半径与焦距构成三角形的面积

双曲线的方程与渐近线方程的关系:

（1）若双曲线方程为渐近线方程： .

（2）若渐近线方程为双曲线可设为.

（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为

（，焦点在轴上，，焦点在轴上）.

（4）焦点到渐近线的距离总是．

双曲线的切线方程:

（1）双曲线上一点处的切线方程是.

（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

（3）双曲线与直线相切的条件是.

44．抛物线上的动点可设为或，其中．抛物线的焦半径公式:抛物线焦半径.

过焦点弦长.

45．二次函数的图像是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是．

46．直线与圆锥曲线相交的弦长公式或

（弦端点，由方程消去得到，，为直线的倾斜角，为直线的斜率）． 

47．“四线”一方程   对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程

，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到．

48．证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面．

证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为两平面的法向量平行．

49．共线向量定理  对空间任意两个向量、，∥存在实数使．

50．对空间任一点和不共线的三点、、，满足，

则四点、、、是共面．

51． 空间两个向量的夹角公式（，）．

52．直线与平面所成角(为平面的法向量)．

53．二面角的平面角或（，为平面，的法向量）．

54．设是内的任一条直线，且，垂足为，又设与所成的角为，与所成的角为，与所成的角为．则．

55．空间两点间的距离公式 若，，则

＝．

56．点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量，向量)．

57．异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离)．

58．点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）．

59．异面直线上两点距离公式

(两条异面直线、所成的角为，其公垂线段的长度为．在直线、上分别取两点、，，，)．

60． 

（长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）．

61． 面积射影定理

(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为)．

62．欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数、棱数和面数)

63．球的半径是，则其体积是，其表面积是．

．分类计数原理（加法原理）．

65．分步计数原理（乘法原理）．

66．排列数公式＝＝．(，，且)．

67．排列恒等式 （1）；（2）；（3）； 

（4）；（5）．

68．组合数公式＝＝＝(，，且)．

69．组合数的两个性质(1)   ＝；(2) +＝

70．组合恒等式（1）；（2）；（3）； 

（4）＝；（5）．

71．排列数与组合数的关系是：．

72．二项式定理；

二项展开式的通项公式： ．

73．等可能性事件的概率．

74．互斥事件，分别发生的概率的和．

75．个互斥事件分别发生的概率的和．

76．事件，同时发生的概率．

77．个事件同时发生的概率．

78．次重复试验中某事件恰好发生次的概率

79．离散型随机变量的分布列的两个性质：

（1）；（2）

80．数学期望

数学期望的性质：（1）；（2）若，则

81．方差：；标准差： 

方差的性质：（1）；（2）；（3）若，则

82.正态分布密度函数

，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

标准正态分布密度函数

.

对于，取值小于的概率

.

.

83.回归直线方程  

，其中.

84.相关系数 

 .

，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小.

85．在处的导数．

86．函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是．

瞬时速度.

瞬时加速度.

函数在点处的导数的几何意义

函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

87．几种常见函数的导数

（1）（为常数）；（2）；（3）；（4）（5）；；（6）； 

88．复合函数的求导法则：设函数在点处有导数，函数的点处的对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作

.导数的运算法则

（1）.

（2）.

（3）.

90.判别是极大（小）值的方法

当函数在点处连续时，

（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；

（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.

91.复数的相等

.（）

92.复数的模（或绝对值）

==.

93.复数的四则运算法则

（1）;

（2）;

（3）;

（4）.

94.复数的乘法的运算律

对于任何，有

交换律:.

结合律:.

分配律: .

95.复平面上的两点间的距离公式 

（，）.

96.零点：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．

零点定理：如果函数，在区间上的图像是连续不断的一条并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也是方程的根．

关系：方程有实数根函数有零点函数的图像与轴有交点

97．二分法求方程的近似解：（1）确定区间，验证，给定精确度；（2）求区间的中点；（3）计算：①若，则是函数的零点；②若，则令（此时零点）；③若，则令（此时零点）；（4）判断是否达到精确度；即若，则得到零点的近似值（或）；否则重复（2）～（4）．

98．柱、锥、台、球的结构特征

99．空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度．

100．算法初步：秦九韶算法计算多项式：，当时，

需要做几次加法和乘法运算？答案：6，6．即：．

（1）算法的特征：①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去；②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个．没有输出的算法是无意义的；③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度．

（2）算法含有两在要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等；②控制结构：顺序结构，选择结构，循环结构．

高考数学监考50个易误点提示

在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到较大的作用．

1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？

2．函数与其反函数之间的一个有用的结论： 

3．原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一定函数存在反函数，此函数不一定单调．

4．判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？

5．根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？（取值、作差、判正负）

6．你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

7．解对数函数问题时，你注意到真数与底数的条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀！

8．你知道判断对数符号的快捷方法吗？

9．“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

10．在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？

11．在三角中，你知道1等于什么吗？（ 这些统称为1的代换）常数“1”的各种代换有着广泛的应用．

12．你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角、异角化同角，异名化同名，高次化低次）

13．你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？（）

14．在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是： 

②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是： 

③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是： 

15．分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）

16．解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性，对数的真数大于零．）

17．利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，你是否注意到（或非负），且“等号成立”时的条件，积或其中之一应是定值？

18．在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．

19．等差数列中的重要性质：若，则；

    等比数列中的重要性质：若，则

20．你是否注意到在应用等比数列求前项和时，需要分类讨论．

（）

21．等差数列的一个性质：设是数列的前项和，为等差数列的充要条件是（为常数）其公差是．

22．你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前项的和）

23．用求数列的通项公式时，你注意到了吗？

24．你还记得裂项求和吗？

（如，）

25．解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

26．解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．

27．作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见．（求二面角还有法向量法）

28．求点到面的距离常规方法是什么？（直接法、体积法、向量法，公式：）

29．求多面体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

30．你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是总关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见．

31．设直线议程时，一般可设直线的斜率为，你是否注意到直线垂直于轴时，斜率不存在的情况？（例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程．该题就要注意，不要漏掉这一解．）

32．定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）

33．对不重合的两条直线，有．

34．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0．

35．处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式．一般来说，前者更简捷．

36．处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系．

37．在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形．

38．还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？

39．还记得圆锥曲线方程中的的意义吗？

40．在利用圆锥曲线统一定题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？

41．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？

42．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行．）

43．椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（）

44．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦．

45．解答选择题的特殊方法是什么？（顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等）

46．解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．

47．解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．

48．解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量，想方设法摆脱参变量的困绕，这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．

49．“对勾函数”：，利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

例如：求函数的最小值．该函数变形为，求得最小值为：当时，的最小值为．在这里应该注意些什么．

50．用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶不穿”，从最大根的右上方开始，并注意的最高次项为正，例如：解不等式：①；②．对于第二个应该变形为，再用“穿根法”，如图2

数学高考应试技巧

数学考试时，有许多地方都要考生特别注意．在考试中掌握好各种做题技巧，可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门．

考试注意：

1．考前5分钟很重要

在考试中，要充分利用前5分钟的时间．考卷发下后，可浏览题目．当准备工作（填写姓名、考号等）完成后，可以翻到后面的解答题，通读一遍，做到心中有数．

2．区别对待各档题目

考试题目分为易、中、难三种，它们分值比约为3∶5∶2．考试中大家要根据自身状况分别对待．

（1）做容易题时，要争取一次做完，不要中间拉空．这类题要100％的拿分．

（2）做中等题时，要静下心来，尽量保证拿分，起码有80％的完成度．

（3）做难题时，大家通常会感觉无从下手．这时要做到：

①多读题目，仔细审题；

②在草稿上简单感觉一下；

③不要轻易放弃．许多同学一看是难题、大题，不多做考虑，就彻底投降．解答题多为小步设问，许多小问题同学们都是可以解决的，因此，每一个题、每一个问，考生都要认真对待．

3．时间分配要合理

（1）考试时主要是在选择题上抢时间；

（2）做题时要边做边检查，充分保证每一题的正确性．不要抱着“等做完后再重新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查；

（3）在交卷前30分钟要回头再检查一下自己的进度．注意及时填机读卡．

高考数学选择题的解题策略

   数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使今年全国有些省份试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分之一．数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键．

解答选择题的基本策略是准确、迅速．准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生．

高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略．

特殊位置

例．过的焦点作直线交抛物线与、两点，若与的长分别是、，则＝

A．            B．            C．           D． 

    解析：考虑特殊位置时，，所以，故选C．

2012年6月10日