湖南省洞口一中2013届高三第五次月考数学(文)试题

总分：150分  时间：150分钟  命题：邓昭练  审题：林目余

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={x|ln（x－l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=                （  C  ）

    A．（2,3）        B．[2,3）        C．（2,3]        D．[2,3]

2．设命题p：函数y= cos2ｘ的最小正周期为；命题q：函数f（ｘ）＝sin（ｘ一）的图象的一条对称轴是，则下列判断正确的是               （  B  ）

  A．p为真        B．ｑ为假    C．p∧q为真        D．p∨ q为假

3．已知向量，，且，则实数的值为（ B   ）

A．                B．             C．                 D． 

4.项数大于3的等差数列中，各项均不为零，公差为1，且则其通项公式为（ B   ）

    A．n-3    B．n    C．n+1    D．2n-3

5．某地区高中分三类，类学校共有学生2000人，类学校共有学生3000人，类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则类学校中的学生甲被抽到的概率为 （ A   ）

A．　　            B．             C． 　      D．

6．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（  A  ）   

7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(　B　)

A．32           B．16＋16

C．48           D．16＋32

8．满足约束条件的目标函数的最大值是            （  C  ）

      A．－6    B．e＋l    C．０    D．e－l

9．设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有

成立，若， (n为正整数)，则数列的前n项和的取值范围是（  D  ）

A．     B．          C．        D． 

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在横线上

10.复数在复平面内对应的点到原点的距离为__________2

11．在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则（为极点）所在直线被曲线所截弦的长度为______     .

12．阅读右面的程序框图，则输出的等于         ．50

13.在中，三内角所对边的长分别为，已知，不等式 的解集为，则          ． 

14.点P是椭圆与圆的一个交点，且2其中F1、F2分别为椭圆C1的左右焦点，则椭圆C1的离心率为      。

15．已知正方形，平面，,，

当变化时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围是

          ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16（本题12分）已知函数f(x)=2msin2x－2 (m>0)的定义域为[０，]，值域为[－5，4]．

 （1）求m，n的值；

 （2|）求函数g(x) =msinx+ncosx(x∈R)的单调递增区间。

17(本小题12分)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，点是的中点，且，.           

（1）求四棱锥的体积；

（2）求证：∥平面；

（3）求直线和平面所成的角的正弦值.

解：∵⊥底面,底面,底面

∴⊥,⊥                           

∵,、是平面内的两条相交直线

∴ 侧棱底面                            ………………… 2分

（1）在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，， 

    ∴       ………………… 4分

      （2） 取的中点，连接、。

           ∵ 点是的中点   ∴∥且  

∵ 底面是直角梯形，垂直于和，， 

           ∴∥且                        

           ∴∥且

∴ 四边形是平行四边形

∴∥                                    

∵， 

∴∥平面                                ……………… 8分

      （3）∵ 侧棱底面，底面

∴

∵垂直于，、是平面内的两条相交直线

∴，垂足是点                   

∴是在平面内的射影， 

∴是直线和平面所成的角             

∵ 在中，，     ∴

∴

∴  直线和平面所成的角的正弦值是     ……………… 13分

18. （本小题满分12分）如图，正方形的边长为2.

(1)在其四边或内部取点，且，求事件：“”的概率；

(2)在其内部取点，且，求事件“的面积均大于”的概率.

解：（1）共9种情形： 

满足，即，共有6种

因此所求概率为………6分

（2）设到的距离为，则，即

到、、、的距离均大于

概率为………12分

19(本小题满分13分 ) 已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列的前三项.  

（Ⅰ）分别求数列，的通项公式;

（Ⅱ）设求证：  

解：（Ⅰ）设d、q分别为等差数列、等比数列的公差与公比，且

由分别加上1，1，3有…2分

          …………4分

                   …………6分

（II）①

②

①—②，得

                     …………8分

………………10分

20（本小题满分13分）

已知函数f(x)＝图象上斜率为3的两条切线间的距离为，

函数g(x)＝f(x)－＋3.(1) 若函数g(x)在x＝1处有极值，求g(x)的解析式；

(2)若函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数,且b2－mb＋4≥g(x)在区间[－1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

解：∵ f′(x)＝·x2，

∴ 由·x2＝3有x＝±a，即切点坐标为(a，a)，(－a，－a)，

∴ 切线方程为y－a＝3(x－a)或y＋a＝3(x＋a)，

整理得3x－y－2a＝0或3x－y＋2a＝0，

∴＝，解得a＝±1，

∴ f(x)＝x3，∴ g(x)＝x3－3bx＋3.

(1) ∵ g′(x)＝3x2－3b，g(x)在x＝1处有极值，∴ g′(1)＝0，

即3×12－3b＝0，解得b＝1，∴ g(x)＝x3－3x＋3.

(2)∵函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数，∴g′(x)＝3x2－3b≥0在区间[－1,1]上恒成立，∴b≤0，又∵b2－mb＋4≥g(x)在区间[－1,1]上恒成立，∴b2－mb＋4≥g(1)，即b2－mb＋4≥4－3b，∴ mb≤b2＋3b在b∈(－∞，0]上恒成立，∴ m≥3.

综上，m的取值范围是[3，＋∞)．

21．（本小题满分13分）

      P、Q是抛物线C：y=x2上两动点，直线，分别是C在点P、点Q处的切线，∩=M，⊥． 

 （1）求证：直线PQ经过一定点；

 （2）求△PQM面积的最小值。