中考数学专题复习——数形结合思想

一、知识梳理

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。

二、典型例题

（一）在数与式中的应用

例1、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简_________。

（二）在方程、不等式中的应用

例2、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是____________。

例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ）

A．            B． 

C．            D． 

（三）在锐角三角函数中的应用

例4、画△ABC，使，AB＝2cm，∠A的对边可以在长为1cm、2cm、3cm中任选，这样的三角形可以画_______个。

（四）在函数中的应用

例5、如图为二次函数的图象，在下列说法中：

①；

②方程的根为，；

③；

④当时，随着的增大而增大．

正确的说法有           ．（请写出所有正确说法的序号）

（五）在概率统计中的应用

例6、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：

⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；

⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点？

⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。   

三、综合训练

1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点A所表示的数是”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（　　）

A．代入法　　        B．数形结合　　

C．换元法　　        D．分类讨论

2、某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话电话收费，3分钟以内收费2.4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y（元）与通话时间（分）之间的关系的图象正确的是（    ）

3、若M，N，P三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（    ）

A、y2＞y3＞y1                            B、y2＞y1＞y3        

C、y3＞y1＞y2                            D、y3＞y2＞y1

4、关于x的一元二次方程x2―x―n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2―x―n的顶点在（    ）

A、第一象限                            B、第二象限        

C、第三象限                            D、第四象限

5、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =150°，OA＝OB=2，则点A、B的坐标分别是___________和___________。

6、如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为           ．

7、如图，为实数、在数轴上的位置，

化简。

思考题：

5、福娃们在一起探讨研究下面的题目：

函数（为常数）的图象如图，如果时，；那么时，函数值（    ）

A．                    B．        

C．                    D． 

下面是福娃们的讨论，请你解答该题：

贝贝：我注意到当时，．

晶晶：我发现图象的对称轴为．

欢欢：我判断出．

迎迎：我认为关键要判断的符号．

妮妮：可以取一个特殊的值．

2、如图1是一种带有黑白双色、边长是20cm的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为0.02元/(cm2)和0.01元/(cm2)，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是__________元（π取3.14，结果精确到0.01元）