高考数学《向量》专题复习专题训练

1.向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：.

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。

任意向量的单位化：与共线的单位向量是.

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。

（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.

向量与共线，则有且仅有唯一一个实数，使；

②规定：零向量和任何向量平行；

③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

④平行向量无传递性！（因为有)；

⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；

2.平面向量的坐标表示及其运算：

（1）设，，则；

（2）设，，则；

（3）设、两点的坐标分别为，，则=；

（4）设，，向量平行；

（5）设两个非零向量，，则，

所以；

（6）若，则；

（7）定比分点：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数，使

，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点；当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为.

注意：设、，分有向线段所成的比为，则， 

在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.当时，就得到线段的中点公式.

②的符号与分点的位置之间的关系：

当点在线段上时；

当点在线段的延长线上时　；

当点在线段的反向延长线上时；

3.平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量、，作，，称为向量、的夹角。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量、，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.

零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）在上的投影为，投影是一个实数，不一定大于0.

（4）的几何意义：数量积等于与在上的投影的乘积。

（5）向量数量积的应用：设两个非零向量、，其夹角为，则，

当时，为直角；

当时，为锐角或同向；注意：是为锐角的_____________条件；

当时，为钝角或反向；注意：是为钝角的_____________条件；

（6）向量三角不等式：

当同向，；

当反向，；

当不共线；

4.平面向量的分解定理

（1）平面向量分解定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使成立，我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。

（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线且.

5.空间向量

空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。

如，若、、三个向量共面，则.同时，对于空间任意一点O，存在，其中＝_____________

例1.下列命题： 

①若与共线，则存在唯一的实数λ，使=λ； 

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； 

③向量、、共面，则它们所在直线也共面； 

④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，若，则点M一定在平面ABC上，且在内部；

若，且，则 ；

若，则它们的夹角为锐角；

其中正确的命题有__________________（填序号）

例2.已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|-|，则|t-|+|t-|（t∈R）的最小值是______________

例3.如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E、F分别是AB、AC上的点，且，且λ，μ∈（0，1），且λ+4μ=1，若线段EF、BC的中点分别为M、N，则的最小值为_____________

例4.已知平面向量，，满足||=，||=1，=-1，且-与-的夹角为，则||的最大值为______________

变式训练：

1.已知向量=（-1，-2），=（1，λ），若，的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________

2.在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量在上的投影是_________

3.如图，在中，已知∠BAC=，||=2，||=3，点D为边BC上一点，满足+2=3，点E是AD上一点，满足=2，则||=______________

4.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，，CD=．若，则的值为_____________

5.向量的夹角为120°，||=||=2，||=4，则|+-|的最大值为__________

6.已知O是面α上一定点，A，B，C是平面α上的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是________________（填序号）

①动点P满足=++，则的外心一定在满足条件的P点集合中； 

②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则的内心一定在满足条件的P点集合中； 

③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则的重心一定在满足条件的P点集合中； 

④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则的垂心一定在满足条件的P点集合中；

⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则的外心一定在满足条件的P点集合中；

7.已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若，

则m=_____________

8.（2017全国）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则（+）的最小值是_______

9.在中，点A在OM上，点B在ON上，且AB//MN，2OA=OM，若=x+y，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围为____________ 

10.如图，在直角坐标系中，△ABC是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三角形，

△ABC可绕圆心旋转， M、N分别是边AC、AB的中点，的取值范围是_____________

11.如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为_________

12.如图，矩形ORTM内放置5个边长均为的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E为AD的中点，则（-）= ______ 

13.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=，I2=，I3=，则（   ）

A.I1＜I2＜I3           B.I1＜I3＜I2          C.I3＜I1＜I2           D.I2＜I1＜I3

14.在坐标系中，O点坐标为（0，0），点A（3，4），点B（-4，3），点P在∠AOB的角平分线上，且OP长度为，则点P坐标为_____________

15.（2017浙江）已知向量，满足，，则的最小值是       ，最大值是      

16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记=，则m1+m2+…+m10的值为_____________

17.已知向量、满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有||+||≤，则当取最小值时，向量与的夹角为_________________（用反三角表示）

18.正十二边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于_________________

19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为_________

20.已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为____________