高考数学《向量》专题复习

1.向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。 任意向量的单位化：与

共线的单位向量是.

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。 （5）平行向量又叫共线向量，记作：a ∥b .

①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→

→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；

④平行向量无传递性！（因为有0)；

（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；

2.平面向量的坐标表示及其运算：

（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→

→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→

→；

（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→

→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→

→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→

→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→

，则22y x a +=

→

；

（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ

的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段2

1P P 所成的比为1

λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段2

1P P 所成的比为λ，则121

211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩

， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些

点确定对应的定比λ.当1λ=时，就得到线段12P P 的中点公式121222

x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪

=⎪⎩. ②λ的符号与分点P 的位置之间的关系： 当P 点在线段21P P 上时⇔0λ>；

当P 点在线段21P P 的延长线上时⇔ 1λ<-； 当P 点在线段21P P 的反向延长线上时10λ⇔-<<；

3.平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量→a 、→

b ，作a OA =，b OB =，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量→a 、→

b 的夹角。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量→a 、→b ，它们的夹角为θ，我们把数量θcos →

→⋅b a 叫做→a 与→b 的数量积（或内积或点积），记作：→→⋅b a ，即θcos →

→→→⋅=⋅b a b a .

零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。 （3）b 在→a 上的投影为θcos →

b ，投影是一个实数，不一定大于0. （4）→

→⋅b a 的几何意义：数量积→

→⋅b a 等于→

a 与→

b 在→

a 上的投影的乘积。

（5）向量数量积的应用：设两个非零向量→a 、→

b ，其夹角为θ，则→

→

→

→⋅⋅=

b

a b

a θcos ，

当0=⋅⇔⊥→

→→→b a b a 时，θ为直角；

当0>⋅→→b a 时，θ为锐角或→→b a ,同向；注意：0>⋅→→b a 是θ为锐角的_____________条件； 当0<⋅→

→b a 时，θ为钝角或→

→b a ,反向；注意：0<⋅→

→b a 是θ为钝角的_____________条件； （6）向量三角不等式：→

→→→→→+≤±≤-b a b a b a 当→→b a ,同向⇔→→→→+=±b a b a ，→

→→→-=-b a b a ； 当→

→b a ,反向⇔→

→

→

→

+=-b a b a ，→

→→→+=-b a b a ； 当→→b a ,不共线⇔→

→→→→→+<±<-b a b a b a ；

4.平面向量的分解定理

（1）平面向量分解定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量→

a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e a λλ+=→

成立，我们把不共线的向量1e 、

2e 叫做这一平面内所有向量的一组基底。

（2）O 为平面任意一点，A 、B 、C 为平面另外三点，则A 、B 、C 三点共线→

→→+=⇔OC OB OA 21λλ且121=+λλ.

5.空间向量

空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x ，y ，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。

如，若MP →、MA →、MB →

三个向量共面，则−→

−−→−−→−+=MB y MA x MP .同时，对于空间任意一点O ，存在−→

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

−++=++=OB OA n OM m MB y MA x OM OP γ，其中γ++n m ＝_____________

例1.下列命题：

①若与共线，则存在唯一的实数λ，使=λ； ②若向量

所在的直线为异面直线，则向量

一定不共面；

③向量、、共面，则它们所在直线也共面； ④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，若，则点M 一定在平

面ABC 上，且在ABC ∆内部； ⑤若→

→

b

a //，且→

→

c

b //，则→

→

c

a // ；

⑥若0>⋅→

→b a ，则它们的夹角为锐角；

其中正确的命题有__________________（填序号）

例2.已知向量，夹角为，||=2，对任意x ∈R ，有|+x |≥|-|，则|t -|+|t -|（t ∈R ）的最小值是______________

N，则的最小值为_____________

例4.已知平面向量，满足||=，||=1，?=-1，且-与-的夹角为，则||的最大值为______________

变式训练：

1.已知向量=（-1，-2），=（1，λ），若，的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________

2.在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量在上的投影是_________

中，已知∠BAC=，||=2，||=3，点D为边BC上一点，满足+2=3，3.如图，在ABC

点E是AD上一点，满足=2，则||=______________

4.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，CD=．若

，则的值为_____________

5.向量的夹角为120°，||=||=2，||=4，则|+-|的最大值为__________

6.已知O 是面α上一定点，A ，B ，C 是平面α上ABC ∆的三个顶点，∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角。以下命题正确的是________________（填序号） ①动点P 满足=++，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中； ②动点P 满足=+λ（+）（λ＞0），则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中；

③动点P 满足=+λ（

+

）（λ＞0），则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集

合中；

④动点P 满足=+λ（+

）（λ＞0），则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集

合中；

⑤动点P 满足=+λ（+）（λ＞0），则ABC ∆的外心一定在满足条件的P

点集合中；

7.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =6

π

，若，

则m =_____________

8.（2017全国）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则?（+）的最小值是_______

9.在OMN ∆中，点A 在OM 上，点B 在ON 上，且AB

图，在直角坐标系中，△ABC 是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三角形，

△ABC 可绕圆心旋转， M 、N 分别是边AC 、AB 的中点，

ON OM ⋅的取值范围是_____________

11.如图，已知点P （2，0），且正方形ABCD 内接于⊙O ：x 2+y 2=1，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点．当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，的取值范围为_________

12.如图，矩形ORTM 内放置5个边长均为的小正方形，其中A ，B ，C ，D 在矩形的边上，且E 为AD 的中点，则（-）?= ______

13.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OB OA ⋅，I 2=OC OB ⋅，I 3=OD OC ⋅，则（ ）

＜I 2＜I 3 ＜I 3＜I 2 ＜I 1＜I 2 ＜I 1＜I 3

14.在坐标系xoy 中，O 点坐标为（0，0），点A （3，4），点B （-4，3），点P 在∠AOB 的角平分线上，且OP 长度为25，则点P 坐标为_____________

15.（2017浙江）已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是 ，最大值是

16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…P 10，记i m =)10,,3,2,1

(2⋅⋅⋅=⋅i AB i ，则m 1+m 2+…+m 10的值为_____________

17.已知向量、满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|?|+|?|≤，则当取最小值时，向量与的夹角为_________________（用反三角表示）

18.正十二边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于_________________

19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为_________

20.已知OA=（1，2，3），OB=（2，1，2），OP=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当 取得最小值时，点Q的坐标为____________