广东省广州仲元中学2011高三数学专题训练《函数》解析版

数)

时间：120分钟　　　　分值：150分

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．函数f(x)＝lg的定义域为 (　　)

A．{x|－21}

C．{x|x>2} D．{x|－22}

解析：由>0⇒(x－1)(x－2)(x＋2)>0，解得：x>2或－2答案：D

2．函数f(x)＝(x>1)的反函数为 (　　)

A．y＝，x∈(0，＋∞) B．y＝，x∈(1，＋∞)

C．y＝，x∈(0,1) D．y＝，x∈(0,1)

解析：因为f(x)＝＝1－，x>1，所以f(x)∈(0,1)．由y＝得x＝，则f(x)＝(x>1)的反函数为f－1(x)＝(0答案：C

3．函数y＝log a(3x－2)(a>0，a≠1)的图象过定点(　　)

A. B．(1,0)

C．(0,1) D.

解析：令3x－2＝1可解得x＝1，即得函数y＝log a(3x－2)

(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，故选B.

答案：B

4．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点(　　)

A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

答案：A

5．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图象大致是(　　)解析：f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位得到，g(x)＝2－x＋1当x＝0时，g(x)＝2.故选C.

答案：C

6．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则 (　　) A．m＝0 B．m＝0且n＝0

C．n＝0 D．m＝0或n＝0

解析：根据f(0)＝0且f(－1)＝－f(1)求解．

答案：B

7．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin，则 (　　)

A．a>b>c B．b>a>c

C．c>a>b D．b>c>a

解析：∵a＝20.6>20＝1；logπ1log2sinπb>c，选A.

答案：A

8．定义在R上的偶函数f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,4]时，f(x)＝x－2，则有 (　　)

A．ff

C．f(sin1)f

解析：由f(x)＝f(x＋2)知f(x)是周期为2的周期函数，又f(x)为偶函数，则f(x)在[0,1]上为减函数．因为

0答案：C

9．(2010·河南重点中考)已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，则f(log2)的值

为 (　　)

A．－2 B．－

C．2 D.－1

解析：当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，又∵当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，

∴x∈(－2,0)时，f(x)＝1－.∵－2∴f(log2)＝1－＝－2.故选A.

答案：A

10．(2009·福建质检)函数y＝的图象大致是 (　　)

解析：令x＝0，得y＝；令x＝1，得y＝1，

∴图象过(0，)，(1,1)两点，故选C.

答案：C

11．(2010·湖北五校联考)已知f(x)是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，如果直线y＝x＋a与曲线y＝f(x)恰有两个交点，则实数a的值是 (　　)

A．0 　　 B．2k(k∈Z)

C．2k或2k－(k∈Z) 　　 D．2k或2k＋(k∈Z)

解析：令a＝0，a＝－均符合题意，故选C.

答案：C

12．(2010·东城一模)已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率为3，数列{}的前n项和为S n，则S2009的值

为 (　　)

A. B.

C. D.解析：∵函数f(x)＝x2＋bx的图象的切线的斜率为f′(x)＝2x＋b；∴函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l的斜率为k＝2＋b；∴2＋b ＝3，即b＝1；∴f(x)＝x2＋x⇒＝＝＝－；

∴S2009＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.

答案：C

二、填空题(每小题4分，共16分)

13．已知函数f(x)＝则f＝________.

解析：f＝log3＝－2，f＝f(－2)＝2－2＝.

答案：

14．已知函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)＝f(|x|)．若f(x)＝

lg x，则g(lg x)>g(1)时x的取值范围是________．

解析：根据题意知g(x)＝lg|x|，又因为g(lg x)>g(1)，所以|lg x|>1，解得010.

答案：(0，)∪(10，＋∞)

15．(2009·福州质检)对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：

①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；

②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；

③>0；

④f()<.

当f(x)＝2x时，上述结论中正确结论的序号是__________．

解析：代特殊值验证即可．

答案：①③④

16．给出下列四个命题：①函数f(x)＝x|x|＋bx＋c为奇函数的充要条件是c＝0；②函数y＝2－x的反函数是y＝－log2x

(x>0)；③若函数f(x)＝lg(x2＋ax－a)的值域是R，则a≤－4或a≥0；④若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中所有正确命题的序号是__________．

解析：依题意，因为f(x)＝x|x|＋bx＋c为奇函数，所以f(－x)＝－x|x|－bx＋c＝－f(x)＝－x|x|－bx－c，所以c＝0，①正确；由y＝2－x解得x＝－log2y，即函数y＝2－x的反函数为y＝－log2x，②正确；函数f(x)＝lg(x2＋ax－a)的值域为R，则Δ＝a2＋4a≥0，解得a≤－4或a≥0，所以③正确；因为函数y＝f(x－1)是偶函数，则图象关于y轴对称，y＝f(x)的图象由函数y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位得到，则y＝f(x)的图象关于直线x ＝－1对称，所以④错．答案：①②③

三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)

17．(12分)(2010·湖北八校联考)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)．

(1)若f(x)的图象与x轴恰有一个公共点，求a的值；

(2)若方程f(x)＝0至少有一正根，求a的范围．

解：(1)若a＝0，则f(x)＝2x＋1，f(x)的图象与x轴的交点为(－，0)，满足题意．

若a≠0，则依题意得：Δ＝4－4a＝0，即a＝1.故a＝0或1.

(2)显然a≠0.

若a<0，则由x1x2＝<0可知，方程f(x)＝0有一正一负两根，此时满足题意．

若a>0，则Δ＝0时，x＝－1，不满足题意；Δ>0时，方程有两负根，也不满足题意．故a<0.

18．(12分)(2009·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]．

(1)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；

图1

(2)证明：－10≤f(x2)≤－.

解：(1)f′(x)＝3x2＋6bx＋3c，依题意知，方程f′(x)＝0有两个

根x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]等价于f′(－1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f ′(2)≥0.

由此得b、c满足的约束条件为

满足这些条件的点(b，c)所构成的区域为图中阴影部分．

图2

(2)由题设知f′(x2)＝3x＋6bx2＋3c＝0，故bx2＝－x－c，于是f(x2)＝x ＋3bx＋3cx2＝－x＋x2.

由于x2∈[1,2]，而由(1)知c≤0，

故－4＋3c≤f(x2)≤－＋c.

又由(1)知－2≤c≤0，所以－10≤f(x2)≤－.

19．(12分)已知f(x)是定义在R上的函数，对于任意的实数a，b，都有f(ab)＝af(b)＋bf(a)，且f(2)＝1.

(1)求f的值；

(2)求f(2－n)的解析式(n∈N*)．

解：(1)令a＝b＝1，则f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)＝2f(1)，从而f(1)＝0.

由f(1)＝f＝f(2)＋2f＝0，可得f＝－f(2)＝－；

(2)f(2－n)＝f(2×2－n－1)＝2f(2－n－1)＋2－n－1f(2)＝2f(2－n－1)＋2－n－1.

设b n＝f(2－n)，则b n＝2b n＋1＋2－n－1.两边同乘以2n，可以得到2n b n＝2n＋1b

＋，即2n＋1b n＋1－2n b n＝－.故数列{2n b n}为公差为－的等差数列．n＋1

由2b1＝2f＝－，可得2n b n＝－＋(n－1)＝－，所以b n＝－，即f(2－n)＝－.

20．(12分)(2010·黄冈质检)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现：该产品的销售单价定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，年销售量将再减少1万件．设销售单价为x(元)，年销售量

为y(万件)，年获利为w(万元)．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损？若赢利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？(＝1521)

解：(1)y＝.

(2)当100≤x≤200时，w＝xy－40y－(480＋1520)

将y＝－x＋28代入上式得：

w＝x(－x＋28)－40(－x＋28)－2000＝－(x－195)2－78，

当200故w＝.

若100≤x≤200，当x＝195时，w max＝－78，

若200故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元．

21．(12分)(2010·黄冈检测)设函数f n(x)＝1＋x－＋－…＋，n∈N*.

(1)讨论函数f2(x)的单调性；

(2)判断方程f n(x)＝0的实数解的个数，并加以证明．

解：(1)f2(x)＝1＋x－＋，f2′(x)＝1－x＋x2＝(x－)2＋>0，故f2(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

(2)f1(x)＝1＋x，故f1(x)＝0有实数解x＝－1；

f2(0)＝1>0，f2(－1)＝－＋<0，

∵f2(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，

∴f2(x)＝0在(－1,0)上有唯一实数解，从而f2(x)＝0在(－∞，＋∞)上有唯一实数解．

由此猜测f n(x)＝0在(－∞，＋∞)上有唯一实数解，证明如下：

当n≥2时，由f n(x)＝1＋x－＋－…＋，

得f n′(x)＝1－x＋x2－…－x2n－3＋x2n－2.

若x＝－1，则f n′(－1)＝2n－1>0；若x＝0，则f n′(0)＝1>0.

当x≠0且x≠－1时，f n′(x)＝，

当x<－1时，x＋1<0，x2n－1＋1<0，f n′(x)>0，

当x>－1时且x≠0，x＋1>0，x2n－1＋1>0，f n′(x)>0.总之，f n′(x)>0，故f n(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

又f n(0)＝1>0，f n(－1)＝1－1－－－…－－<0，所以当n≥2时，f n(x)＝0在(－1,0)上有唯一实数解，从而f n(x)＝0在(－∞，＋∞)上有唯一实数解．

综上可知，f n(x)＝0在(－∞，＋∞)上有唯一实数解．

22．(14分)(2009·南昌调研)设f(x)的定义域为(0，＋∞)，对于任意正实数m、n恒有f(m·n)＝f(m)＋f(n)且当x>1时，f(x)>0，f()＝－1.

(1)求f(2)的值；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(3)解关于x的不等式f(x)≥2＋f()，其中p>－1.

解：(1)令m＝n＝1得：f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

而f(1)＝f(2·)＝f(2)＋f()＝f(2)－1＝0，

∴f(2)＝1.

(2)设01，由已知得f()>0.

∵f(1)＝f(x1·)＝f(x1)＋f()＝0，

∴f()＝－f(x1)．

而f()＝f(x2)＋f()，∴f()＝f(x2)－f(x1)，

由f()>0得f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)由f(2)＝1得，2＝f(2)＋f(2)＝f(4)，又f(x)≥2＋f()，∴不等式化

为f(x)≥f()，由(2)已证f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数可得：，

①当p>0时，由>0得x>4，

∴不等式x≥可化为x2－4x－4p≥0.

这时，Δ＝16＋16p>0，不等式x2－4x－4p≥0的解为x≥2＋2或x≤2－2.

又x>4，∴不等式组的解为x≥2＋2.

②当p＝0时，不等式>0不成立，

∴不等式组的解集为Ø.

③当即－10得x<4，

∴不等式x≥可化为x2－4x－4p≤0.

不等式组的解为2－2≤x≤2＋2.

综上可得：

当p>0时，原不等式的解集是{x|x≥2＋2}，

当p＝0时，原不等式的解集是Ø，

当－1