竞赛讲座(三角函数及其应用教师版)

三角是代数与几何联系的“桥梁”，同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具．

☆三角与代数☆

【例1】求证：．

证明：

证法1：由，，

由，．

证法2：，设，则，

设，，

∴函数单调区间↗，↘，↗，

又∵，及，，

∴．

【补充】求证： 

【练习】，，求证：．

证明：∵，

∴，

∴．

∴ 

，

∴．

【例2】为锐角△的三个内角，求证：．

证法1：因为在区间上为上凸函数，由琴生(Jensen)不等式得

，

又由得，

．

证法2： 

为锐角△的三个内角，不妨设，

∴，，

∴

．

【练习】为锐角△的三个内角，求证：．

证明： 

，

，

，

，

∴，

∴，

∴．

【例3】已知，求证：．

证明：

方法1：由已知，可设，

其中为锐角△的三个内角，则，，，

原不等式等价于，证法见例2．

方法2：，

，

只需证，即．

由，可知，

只需证加强不等式，

即，

即，由均值可知显然成立．

【练习】已知，求证：．

提示：设，原不等式等价于．

【变式】已知，求证：．

提示：设，原不等式等价于．

（或将分别替换为将变为上面练习．）

【例4】设，且，求乘积的最大值和最小值．

【练习】设是三角形的三个内角，求证：，并确定其中的等号何时成立．

解析：不妨设，则，从而，

      由此可得．再由，得到

        ，

        即，

于是，

为使，

必须满足，，这是不可能的，

从而．

另一方面，由可知，

．

当且仅当

即时，等号成立．

【例5】对于任意的正数、、、及△三内角A、B、C，

总有：．

证明：

    ∴．

【补充】求证： 

【变式】

求证： 

求证： 

求证： 

求证： 

求证： 

【练习】给定正整数，求最小的正数，使得对于任何，

只要，就有不大于．

解析：1°当时， ，

        当时，，

        当时，设，则，

        设，则，

，当即时取等号．

2°当时，，

        先证   ①

不妨设，

要证明①式成立，只要证，②

，故．

，

，

，

，

，

           ③．

        若③式成立，则②式成立．

若③式不成立，即，从而，

        ，．从而①式得证．

现证为最小的．

事实上，若，则取，从而存在

        使得， 

        从而，但

，

当时，最小的正数为．

综上所求最小正数．

【练习】设，求证：．

☆三角与几何☆

【例6】已知点P是锐角△ABC内一点，使得∠PAB=∠PBC=∠PCA．

求证：．

证明：

证法1：设，∠PAB=∠PBC=∠PCA=则

，

又，∴，

，

，

∴．

证法2：由角元式赛瓦（Ceva）定理得，

    ，

            由，

得

，

，

证法3：（平面几何证法）略

【练习】设P为△ABC内或边界上一点，点P到三边的距离为PD、PE、PF．

求证：． 

∴，

同理，，

【补充】为锐角△的垂心，为垂足，

求证：（1）垂足△的周长；

        （2）为垂足△的内心；

        （3）九点圆半径为外接圆半径的一半。

    提示：（1），，

（切比雪夫不等式）

或由排序不等式可得

（2）；

（3）

【例7】半径为的圆内接六边形ABCDEF中，AB=CD=EF=R，M、N、T、分别为BC、DE、FA中点，求证：△MNT为正三角形．

证明：设，则

同理

只需证：，即

即

只需证

．

∴，同理，∴△MNT为正三角形．

【练习】AB为圆O的弦，C、D分别为弦AB的三等分点，M、N分别为劣弧上的三等分点，MC、ND交于点P，求证： 

提示：，建系证明直线与斜率相等．