2021-2022学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（共16分，每题2分）.

1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（　　）

A．（﹣2，1）    B．（2，1）    C．（﹣3，1）    D．（3，1）

3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（　　）

A．60°    B．50°    C．40°    D．30°

4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　）

A．（x﹣4）2＝6    B．（x﹣8）2＝6    C．（x﹣4）2＝﹣6    D．（x﹣8）2＝54

5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（　　）

A．4    B．8    C．    D．

6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（　　）

A．2.5（1+x）＝3.2    B．2.5（1+2x）＝3.2    

C．2.5（1+x）2＝3.2    D．2.5（1﹣x）2＝3.2

7．下列说法中，正确的是（　　）

A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件    

B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1    

C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖    

D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②    B．①③    C．③④    D．①④

二、填空题（共16分，每题2分）

9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为 　   　．

10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为 　   　．

11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 　   　mm．

12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：　   　．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　   　．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：　   　．

15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE＝　   　.（用含α的式子表示）

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为 　   　．

三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．

18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．

作法：如图，

①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；

②分别连接AE，BD并延长相交于点F；

③连接FC并延长交AB于点H．

所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明．

证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，

∴∠ADB＝∠AEB＝　   　°．（ 　   　）（填推理的依据）

∴AE⊥BE，BD⊥AD．

∴AE，　   　是△ABC的两条高线．

∵AE，BD所在直线交于点F，

∴直线FC也是△ABC的高所在直线．

∴CH是△ABC中AB边上的高．

19．已知二次函数y＝x2+4x+3．

（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）画出此函数的图象；

（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．

（1）求证：AF＝AE；

（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．

22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．

（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；

（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．

23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．

（1）求证：四边形CDEF是矩形；

（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．

24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．

（1）图中点B表示篮筐，其坐标为 　   　，篮球行进的最高点C的坐标为 　   　；

（2）求篮球出手时距地面的高度．

25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．

（1）若a＝1，

①点A到x轴的距离为 　   　；

②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；

（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．

27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．

（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；

②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；

（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．

（1）如图，点A的坐标为（1，0）．

①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的 　   　倍特征点；

②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点 　   　是点A关于⊙O的倍特征点；

③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；

（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．

参

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

故选：C．

2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（　　）

A．（﹣2，1）    B．（2，1）    C．（﹣3，1）    D．（3，1）

【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．

解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．

故选：D．

3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（　　）

A．60°    B．50°    C．40°    D．30°

【分析】先根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．

解：∵△OAB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

∴∠ACB＝∠AOB＝30°．

故选：D．

4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　）

A．（x﹣4）2＝6    B．（x﹣8）2＝6    C．（x﹣4）2＝﹣6    D．（x﹣8）2＝54

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．

解：x2﹣8x＝﹣10，

x2﹣8x+16＝6，

（x﹣4）2＝6．

故选：A．

5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（　　）

A．4    B．8    C．    D．

【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．

解：如图，连接BD．

由题意，△BCD是等腰直角三角形，

∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，

∴BC＝BD＝4．

故选：D．

6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（　　）

A．2.5（1+x）＝3.2    B．2.5（1+2x）＝3.2    

C．2.5（1+x）2＝3.2    D．2.5（1﹣x）2＝3.2

【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力＝2017年全国生活垃圾无害化处理能力×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

解：依题意得：2.5（1+x）2＝3.2．

故选：C．

7．下列说法中，正确的是（　　）

A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件    

B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1    

C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖    

D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．

解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；

B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；

C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；

D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；

故选：B．

8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②    B．①③    C．③④    D．①④

【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，

点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．

解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线与y轴交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴ac＜0，①正确．

∵抛物线顶点为A（2，m），

∴抛物线对称轴为直线x＝2，

∵抛物线过点（5，0），

∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，②错误，

∵﹣＝2，

∴b＝﹣4a，

∴5a+c＝0，

∴c＝﹣5a

∵（2，m）为抛物线顶点，

∴4a+2b+c＝m，

∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，

∵点C（t，n）在抛物线上，

∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，

∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．

故选：B．

二、填空题（共16分，每题2分）

9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为 　（﹣4，7）　．

【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．

解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），

故答案为：（﹣4，7）．

10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为 　﹣5　．

【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．

解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，

解得m＝﹣5．

故答案为：﹣5．

11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 　900　mm．

【分析】利用弧长的计算公式即可求解．

解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm，

由弧长公式得：＝800π，

解得：R＝900，

即此圆弧所在圆的半径为900mm，

故答案为：900．

12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：　y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）　．

【分析】满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式．

解：∵开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴﹣＜0，

∴b＜0，

故抛物线的解析式可以为y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一），

故答案为：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　（2，1）　．

【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．

解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），

连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，

∴Q点的坐标是（2，1），

故答案为：（2，1）．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：　将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线 y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）　．

【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．

解：抛物线y＝x2+2的顶点为（0，2），抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的顶点为（4，2），

∴将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线 y＝﹣（x﹣4）2+2．

故答案为：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线 y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．

15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE＝　90°﹣　.（用含α的式子表示）

【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．

解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，

∴∠ADB＝∠B，

∵∠BAD＝α，

∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，

故答案为：90°﹣．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为 　2　．

【分析】由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而解决问题．

解：取AC的中点H，连接HD，HB，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，

∵AC2﹣AD2＝CD2．

∴∠ADC＝90°，

∵点H为AC的中点，

∴DH＝CH＝3，

∴BH＝，

∵BD≥BH﹣DH，

∴BD的最小值为5﹣3＝2，

故答案为：2．

三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．

【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．

解：移项，得

x2﹣2x＝2，

配方，得

x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，

开方，得

x﹣1＝±．

解得x1＝1+，x2＝1﹣．

18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．

作法：如图，

①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；

②分别连接AE，BD并延长相交于点F；

③连接FC并延长交AB于点H．

所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明．

证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，

∴∠ADB＝∠AEB＝　90　°．（ 　直径所对的圆周角是直角　）（填推理的依据）

∴AE⊥BE，BD⊥AD．

∴AE，　BD　是△ABC的两条高线．

∵AE，BD所在直线交于点F，

∴直线FC也是△ABC的高所在直线．

∴CH是△ABC中AB边上的高．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．

解：（1）如图，线段CH即为所求．

（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，

∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），

∴AE⊥BE，BD⊥AD．

∴AE，BD是△ABC的两条高线．

∵AE，BD所在直线交于点F，

∴直线FC也是△ABC的高所在直线．

∴CH是△ABC中AB边上的高．

故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．

19．已知二次函数y＝x2+4x+3．

（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）画出此函数的图象；

（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；

（2）画出函数图象；

（3）由题意可得2＜|m+2|，求出m的取值范围即可．

解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，

∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点（﹣2，﹣1）；     

（2）如图：

（3）∵点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，

∴2＜|m+2|，

∴m＞0或m＜﹣4．

20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．

（1）求证：AF＝AE；

（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．

【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，

∴∠ABF＝90°，

在△ABF与△ADE中，

，

∴△ABF≌△ADE（SAS），

∴AF＝AE；

（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，

∴∠BAF＝∠DAE，

∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE＝∠BAE＝90°，

∴∠FAE＝90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，

∴AE＝2DE＝4，

∴△AEF的面积＝×4×4＝8．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．

【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；

（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．

【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）

＝k2+2k+1

＝（k+1）2≥0，

∴此方程总有两个实数根；

（2）∵x＝，

∴x1＝2，x2＝k+3，

∵此方程恰有一个根小于﹣1，

∴k+3＜﹣1，

解得k＜﹣4，

即k的取值范围为k＜﹣4．

22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．

（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；

（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．

【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；

（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．

解：（1）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，

∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；

（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：

画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，

∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．

23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．

（1）求证：四边形CDEF是矩形；

（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC∥DE，∠ACD＝90°，根据平行线的判定定理得到EF∥CD，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据切线的性质得到AB＝AC，BE＝DE＝2，根据矩形的性质得到CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，

∴AC⊥CD，DE⊥CD，

∴AC∥DE，∠ACD＝90°，

∵EF⊥AC，

∴EF∥CD，

∴四边形CDEF是矩形；

（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，

∴AB＝AC，BE＝DE＝2，

由（1）知，四边形CDEF是矩形，

∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，

∵EF⊥AC，

∴∠AFE＝90°，

∴AE2＝AF2+EF2，

∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，

解得AC＝5，

故AC的长为5．

24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．

（1）图中点B表示篮筐，其坐标为 　（4.5，3.05）　，篮球行进的最高点C的坐标为 　（3，3.3）　；

（2）求篮球出手时距地面的高度．

【分析】（1）根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．即可得到答案；

（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，解方程即可得到结论．

解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，

∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；

故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；

（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，

把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，

解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，

当x＝0时，y＝2.3，

答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．

25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．

【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；

（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

∵D是的中点，

∴＝，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠ODB＝∠CBD，

∴OD∥BC，

∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由（1）得：∠ABD＝∠CBD，

∴BD平分∠ABC，

∵DF⊥AB，DE⊥BC，

∴DF＝DE，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠DCB＝180°，

∵∠DCB+∠DCE＝180°，

∴∠A＝∠DCE，

∵∠DFA＝∠DEC＝90°，

∴△ADF≌△CDE（AAS），

∴AF＝EC，

∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，

∴△BDF≌△BDE（AAS），

∴BF＝BE，

设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，

∵AB＝10，

∴AF+BF＝10，

∴x+8+x＝10，

∴x＝1，

∴BF＝9，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ABD＝∠DBF，

∴△BFD∽△BDA，

∴BD2＝BF•BA，

∴BD2＝90，

∴BD＝3．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．

（1）若a＝1，

①点A到x轴的距离为 　8　；

②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；

（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．

【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．

（2）由当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．

解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，

∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），

∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，

故答案为：8．

②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，

解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，

∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，

∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．

（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，

∴点A坐标为（h，﹣8a），

∴|﹣8a|＝4，

解得a＝或a＝﹣，

∵当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，

∴当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，

如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，

∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，

∴点A坐标为（h，﹣4），

把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，

当﹣2h+1≤﹣4时，记得h≥，

∵0＜h＜，

∴≤h＜．

27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．

（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；

②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；

（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

【分析】（1）①通过证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形对应角相等解答即可；

②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出结论；

（2）延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，则得：△DCF≌△BGF，再利用题意证明△ACE≌△CBG，结论可得．

解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

∴∠CAE＝∠CBD．

②证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACH+∠ECH＝90°．

∵CF⊥AE，

∴∠ACH+∠CAH＝90°．

∴∠CAH＝∠ECH．

由①知：∠CAE＝∠CBD，

∴∠ECH＝∠CBD．

∴CF＝BF．

∵∠DCB＝90°，

∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．

∴∠CDF＝∠DCF，

∴CF＝DF．

∴BD＝2CF．

由①知：△ACE≌△BCD，

∴AE＝BD．

∴AE＝2CF．

解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：

延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，

∴F是BD的中点，

∴FD＝FB．

在△DCF和△BGF中，

，

∴△DCF≌△BGF（SAS）．

∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．

∴CD∥BG．

∴∠DCB+∠GBC＝180°．

∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，

∴∠ACD＝∠BCE＝α．

∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．

∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．

∴∠ACE＝∠CBG．

∵CD＝CE，

∴CE＝BG．

在△ACE和△CBG中，

，

∴△ACE≌△CBG（SAS）．

∴AE＝CG．

∵FG＝FC，

∴CG＝2CF．

∴AE＝2CF．

∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．

28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．

（1）如图，点A的坐标为（1，0）．

①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的 　　倍特征点；

②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点 　C3　是点A关于⊙O的倍特征点；

③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；

（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．

【分析】（1）①由题意知AP＝OA+OP＝1+＝，AB＝2，则k＝；

②由勾股定理得AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，则AE＝＞2OA＝2，不符合题意，同理判断C2、C3即可；

③设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，根据点E点A关于⊙O的倍特征点，得，由含30°的直角三角形的性质可得OE，AE的长；

（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由，可知k越大，1﹣k的值越小，则﹣1+的值越小，得AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，即A与E重合，N与F重合时，k的值最小，从而解决问题．

解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），

∴AP＝OA+OP＝1+＝，

∵B（﹣1，0），

∴AB＝2，

∵AP＝kAB，

∴k＝，

故答案为：；

②∵C1（0，），A（1，0），

∴OC1＝，

∴AC1＝＝，

假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，

∴，

∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，

∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，

同理可求出AC3＝＝＝，

假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，

∴，

∴C3为AF的中点，

∴F（0，﹣1），

∵F在圆上，

∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，

∵C2（），

∴AC2＝，

∴，

∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，

故答案为：C3；

③如图，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，

∵点E点A关于⊙O的倍特征点，

∴，

∴E是AB的中点，

∴OE⊥AB，

∵∠EAO＝60°，

∴∠EOA＝30°，

∴AE＝，EF＝，

OE＝＝，

∴EF＝，

∴E（）；

（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，

∴MN≥NP，AM≤BP，

∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，

∴，

∵k越大，1﹣k的值越小，

∴﹣1+的值越小，

∴当的值越大，k的值越小，

∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，

∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，

∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，

∴C（1，0），D（0，1），

∵O到C和D的距离都是1，

∴OC＝OD＝1，

∴CD＝＝，

∵OG⊥CD，

∴CG＝DG＝，

∴OG＝＝，

∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，

∴k＝，

∴k的最小值为，

当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．