用分离变量法解常微分方程

重庆师范大学涉外商贸学院 数学与数学应用（师范）2012级3班 邓海飞

指导教师 申治华

摘 要 变量可分离的方程是常微分中一个基本的类型，分离变量法是解决微分方程的初等解法。本文研究了变量分离方程的多种类型和解法，通过适当的变量替换把方程化为变量分离方程，例如齐次方程、线性方程、Riccati方程。并且通过相应的例题具体演绎分离变量法解微分方程。最后本文通过实际例子给出了分离变量在求解常微分方程的具体应用，凸显微分方程与实际问题的密切相关性。

关键词 变量分离；齐次方程；线性方程；常微分方程 

微分方程是自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，而自变量仅有一个的微分方程是常微分方程。常微分方程的实质是解方程，即求常微分方程的解。微分方程的类型多种多样，他们的解法也各不相同，但都是把微分方程的求解问题转化成积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示。

在反映客观现实世界运动规律的量与量之间的关系中，很多实例存在满足常微分方程的数学模型。而我们可以通过求解方程得出未知函数的性质，所以求解常微分方程在生活中特别重要。本文主要研究用分离变量法解常微分方程，很多教材和期刊中都有相应的归纳和总结，本文列出几类可化为分离变量法解常微分方程。

1直接分离变量的微分方程

1.1标准的分离变量方程

形如

                     （1.1）

的方程，称为变量分离方程，这里、分别是，的连续函数。

如果，我们可以把（1.1）改写成

这样，变量就“分离”开来了，两边同时积分，则有

               （1.2）

这里我们把积分常数c明确写出来，而把，分别理解为，的原函数。常数c的取值必须保证（1.2）有意义。

若时，使，则也是方程（1.1）的解。

例1 求解方程

解 将变量分离，可得

两边积分，有

所以整理可得通解为

这里的为任意常数。或者解出，写出显函数形式的解

1.2变量可分离方程的微分形式

形如

         （1.3）

的方程为变量可分离方程的微分形式。

  当，时，方程（1.3）的通积分为

  当，时，也是方程的解。

例2求解方程

解  若，，则方程化为

两边积分并整理可得通解

这里的为任意常数。

  若，，即，也是原方程的解。

2 可化为分离方程的类型

通过上面的介绍，我们已经了解了什么方程是变量分离方程。下面，我们继续介绍几种可化为变量分离方程的类型。

2.1齐次方程

   形如

      （2.1）

的方程，称为齐次微分方程，这里是的连续函数。

   作变量变换

        （2.2）

得，于是

      （2.3）

将（2.2）、（2.3）带入（2.1），则原方程变为

整理后可得

         （2.4）

方程（2.4）是一个变量分离方程，可按（1.1）的方法求解，然后代回原来的变量，得到（2.4）的解。

例3 求解方程

                （2.5）

解  这是齐次微分方程，令，则代入方程（2.5）化为

分离变量有

两边积分

这里的是任意常数，整理后则有

  （2.6）

此时的。

  此外，如果（2.6）允许，则也是（2.5）的解。则方程（2.5）的通解是（2.6），代回原来的变量，得到原方程的通解为

或者可以写成显函数解

  齐次方程可以通过变量代换化为变量分离方程来求解。与此同时，一些线性变量方程一样可以通过变量代换化为变量分离方程，从而用变量分离法解方程。

2.2线性方程

   形如

                                       （2.7）

的方程，其中为常数。

   作变量代换，则，把它们代入方程（2.7）变为

                                          （2.8）

这是一个分离可变量的方程，可用（1.1）的方法求其解。

例4  求解方程

解  令，则，将两者代入原方程得到分离方程

两边积分

这里的是任意常数，整理后可得

此时的，代回原变量得其通解为

2.3 线性分式方程

  形如

           （2.9）

的方程，也可经变量代换为变量分离方程，这里的均为常数。下面分三种情况讨论

（1）（常数）情况

此时方程变为

有通解，其中为任意常数。

（2），即情况，则

，

于是

令，有，将两者代入上式可得

是变量可分离方程，接下来根据变量分离的求法易求其通解。

（3），即情况

若方程（2.9）中，至少有一个不为零，方程右端分子，分母全是，的一次多项式，那么

   （2.10）

代表平面上两条相交的直线，设交点为，如果令

那么（2.10）化为

从而（2.9）化为其次型

那么，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.9）的通解。

   若方程（2.9）中的，则方程（2.9）化为齐次型

令即可求解。

例5 求解方程    （2.11）

解 解方程组

得，，令

代入原方程，得到关于新变量的齐次方程

再令,则，将齐次方程再化为变量可分离的方程

分离变量 

当时，两边积分得

整理后可得

记，且代回原变量可得到

    此外，容易验证，即也是方程（2.11）的解，因此方程（2.11）的通解为

其中为任意常数。

  上述解题的方法和步骤同样适用于比方程（2.12）更一般的方程类型

3 其他几类可化为变量分离的方程

3.1形如 的方程

作变量替换，令 ，即，则，代入原方程得

是变量分离方程。

3.2 形如的方程

   对于这种类型的方程，引入新变量，即，则代入，则原方程化为

是分离变量方程。

3.3 形如（其中满足）的方程

   作变量替换，令 ，则代入原方程可得

即

再令，则可将上式化为分离变量方程。

 除此之外，还有一些一般形式，比如（其中为的齐次函数，次数可以不一样）的方程。可通过适当的代换化为变量可分离方程。

例6 求解方程 

解 令新变量，那么有，代入原方程可得

分离变量

两边积分

将新变量代入上式得原方程的通解

即

3.4 方程

形如

 （3.1）

的微分方程称为方程。

方程一般情况下不能用初等积分法求出其通解，但针对一些比较特殊的情况，可以求出它的通解。 

（1）当、、全为常数时，方程（3.1）为变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。

（2）当方程的形式为

 （3.2）

时，可令，将方程（3.2）化为变量分离方程

定理1 设方程为

 （3.3）

其中、、都是常数，且设，又设和，则当

时，方程（3.3）可通过适当的变换化为变量可分离的方程。

证 不妨设a=1，因此原方程（3.3）化为

 （3.4）

  当时，方程（3.4）是一个变量可分离的方程，即

  当时，令，并代入方程（3.4）可得到分离变量方程。

  当时，令，，其中为新的自变量，为未知函数，那么方程（3.4）变为

  （3.5）

其中，再令，，则方程（3.5）变为

其中。

  只要将上述变换的过程重复次，就可把方程（3.5）转变成的情况。即可得到变量可分离方程。

  当时，求解方法类似的情况。

例7 求方程

 （3.6）

的通解。

解 原方程（3.6）变形为

所以，，。故此方程满足定理1的条件，则可利用变量替换化为变量可分离的方程。

令，即，则有，代入（3.6）式并整理可得齐次方程

  （3.7）

再令，即，代入（3.7）式整理并化简得分离变量方程

两边积分

把新变量代入上式得方程（3.6）的通解为

4应用举例

例8 设有两种化学物质A和B，它们反应后生成另一物质C.设反应速度与物质A和B当时剩余量之积成正比，而且在反应过程中，每克的物质B需要2g的物质A与之反应而生成3g的物质C。已知原有的A、B物质分别是10g和20g，而且在20分钟内反应生成的物质C为6g，求在任意时刻物质C的质量。

  解  设表示时刻所生成物质C的总量，则为反应速度。根据题意知，生成g的物质C需要g的物质A和g的物质B。此时物质A和物质B的剩余量分别为和，那么由题意得

，

为了简便计算，令，那么此微分方程变形为

 （4.1）

分离变量

两边积分 

即

，

利用初始条件得。又因为，所以。把与代入上式，得到

这就是此化学反应过程中生成物C质量随时间变化的规律。据此式子可以算出