初中解直角三角形习题

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1.(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的      ，记作      ，即          , 

（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的      ，记作       ，即          ,

（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的       ，记作       ，即          ，

（4）余切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做角A的       ，记作       ，即          ，

★★常用变形：；等，由同学们自行归纳。

2.锐角三角函数值都是正实数，并且   ＜sinA＜   ，     ＜cosA＜     ．

  且有＝      ， tanA·cotA＝      ．

3.sin30°＝，即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的        .

4. 30°、45°、60°角的三角函数值列表如下

坡面与水平面的夹角称为       ，坡面的铅直高度与水平宽度的比为      （或坡比），即坡度等于坡角的       。

6.解直角三角形的方法：Rt△ABC中，∠C=900，AB=c,AC=b,BC=a。

（1）∠A+∠B=     ；

（2）勾股定理：                    ；

（3）三角函数及其性质的综合应用（特殊角的三角函数、三角函数与边长综合运用、tanA·cotA＝1）。

注意：本节需要掌握的知识点

1.牢记一些特殊教的三角函数值；

2.牢记常用的三角函数关系： tanA·cotA＝1，A为锐角，sinA=cos(-A)；

3.学会运用

考点：梯子的倾斜度

例题1、求AB的长。

（第1题）                         

例题2、

例2中补充一问：求CD的长？

基础过关

1.某人沿着坡度i=1:的山坡走了50米，则他离地面      米高。

2.在一艘船上看海岸上高42米的灯塔顶部的仰角为30度，船离海岸线     米.

能力提升

1.

2.

3

\

考点：三角函数值定义

例题1、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦  （　　）

  (A)都扩大2倍           （B）  都扩大4倍   

 （C）没有变化            （D）  都缩小一半

例题2、在△ABC中，∠C=90°，a, b, c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列错误的是（    ）

   A、a=c·sinA        B．b=c·cosB         C．b=a·tanB        D．a=b·tanA

例题3、若0°  A、sinA>cosA     B、cosA>sinA      C、tanA>1    D、tanA>

基础过关

1、如果α为锐角，那么sinα+cosα的值（    ）

A.小于1        B.等于1       C.大于1       D.不能确定范围 

2、若∠A为锐角，cosA=,则有（    ）

   A、0°<∠A<30°       B、30°<∠A<45°      C、 45°<∠A<60°     D 60°<∠A<90°

能力提升

1、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，

∠DAC=30°，BD=2，AB=，则AC长是（    ）

   A．        B．       C．3       D． 

2、已知∠A＋∠B＝90°，则下列各式中正确的是（    ）

   A、sinA＝cosA  B、cosA＝cosB  C、sinA＝cosB D、tanA＝tanB

3、若sinα=cos70°，则角α等于（    ）

    A．70°；  B．60°；   C．45°； D．20°． 

考点：特殊三角函数值综合运算

例题1若∠A为锐角，且cosA≤,那么（        ）

  A、00≤A≤600   B、600≤A≤900   C、00≤A≤300   D、300≤A≤900

例题2(1)锐角A满足2 sin(A-)=,则∠A=              

 已知tan B=，则=                   .

 计算sin30°＋－60°

例题3在△ABC中，∠C＝90°.

(1)已知：c＝ 8，∠A＝60°，求∠B、a、b．

(2)已知：a＝3， ∠A＝30°，求∠B、b、c.

基础过关

1.Rt△ABC中，若sinA＝，AB＝10，那么BC＝      ，tanB＝     

2.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sinA＝（    ）

A、     B、        C、       D、

能力提升

1.计算

．

 sin60°＋cos45°＋sin30°·cos30°

＋

2. 一副直角三角板如图所示，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．

3.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（  ）

 A．12秒． ．16秒． ．20秒． ．24秒．

同步检测

1、若，则锐角的度数是_________________

2、若=1，则锐角的度数是_________________

3、若，  则锐角的度数是________________

考点：三角函数实际应用

例题1河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）

A．5米   ．10米   ．15米    ．10米

例题2.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为______米（保留根号）．

基础过关：

1已知，如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区.一艘货轮由东向西航行，在B处测得岛A在北偏西，航行24海里后到C处，测得岛A在北偏西.请通过计算说明，货轮继续向西航行，有无触礁危险？

 如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡

角∠BAD=,坡长AB=,为加强水坝强度,

将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡

的坡角∠F=,求AF的长度(结果精确到1米,

参考数据:,).

3.

能力提升

1.经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得.  

  （1）求所测之处江的宽度（）；

  （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.

2.

3.

知识巩固

解直角三角形的基本类型及其解法总结：

三角形的面积公式：

已知中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是、、，如图2，过点A作AD⊥BC于点D。在中，，即：（）

（其中：∠B为、的夹角）

同理可得：（三角形的面积公式）

由面积公式可得： 

两边同时除于得： 

同理可得，正弦公式： 

同步测试：

1. 在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正

好行至码头MN靠岸？请说明理由．

2. 如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．

（1）判断ABAE的数量关系，并说明理由；

（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：≈1.73，sin74°≈，

cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

3.青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图7所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位） 

4.如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（    ） 

直击中考

1.(2014年重庆市)2014年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（　　）

　A．     B．     C．     D．    

2.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为

A.51                      B.70                   C.76                   D.81

3.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE。将△ADE沿对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF。下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF;④S△FGC=3. 其中正确结论的个数是（    ）

A.1      B.2     C.3     D.4