一、选择题（每题5分，共40分）．
1．复数，则实数的值是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列有关命题的说法正确的是（ ）．
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．“”是“”的必要不充分条件．
C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，
均有”．
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
3．若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（ ）．
A． 21 B ．26 C． 30 D． 55
4．在等差数列中，，
那么该数列的前14项和为（ ）．
A．20 B．21 C．42 D．84
5．若二项式的展开式中，只有第六项系数最大，则展开
式中的常数项是（ ）．
A．150 B．210 C．220 D．250
6．设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2： （a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D． 2
7．若，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
8．设在上有定义，对于给定的实数，定义，
给出函数，若对于任意，恒有，则（ ）．
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
二、填空题（每题5分，共30分）．
9．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________________．
10．如下图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是______________．
（第10题图）
11．若曲线：（为参数，）与曲线：（为参数）有公共点，则的取值范围是____________．
12．如图，是圆的切线，是切点，直线交圆于、两点，是的中点，连结并延长交圆于点，若，∠，则________．
（第12题图）
13．如图，在△ABC中， =，P是BN上的一点，若=m+，则实数的值为___________．
14．已知函数的定义域为，部分对应值如下表．
| －1 | 0 | 4 | 5 | |
| 1 | 2 | 2 | 1 |
（第14题图）
下列关于的命题：
①函数是周期函数；
②函数在是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有4个零点；
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是_______________．
二、填空题（每题5分，共30分）．
9．_____________ 10．_____________ 11．_____________
12．_____________ 13．_____________ 14．_____________
三、解答题．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围．
16（本小题满分13分）
盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球
（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.
17．（本小题满分13分）
如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA = 1，
PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．
（Ⅰ）求证：PA 平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？
若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知曲线都过点A（0，－1），且曲线所在的圆锥曲线的离心率为.
（Ⅰ）求曲线和曲线的方程；
（Ⅱ）设点B,C分别在曲线，上，分别为直线AB,AC的斜率,当时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
19．（本小题满分14分）
已知数列、满足，，数列的前项和为.
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设，求证：；
（Ⅲ）求证：对任意的都有成立．
20．（本小题满分14分）
已知函数的图象在处的切线与直线平行．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设常数，数列满足（），．
求证：．
数学答案（理科）
一、选择题
1—4 BDCB 5---8 BADD
二、填空题
9.18 10. 11. 12. 13. 14.②⑤
三、解答题
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题意得：
……3分
若，可得，
则 ………6分
（Ⅱ）由可得,即
，得 ……9分
………13分
16、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） ………….. 3分
（Ⅱ）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，则 . ………….. 6分
（Ⅲ）可能的取值为. ………….. 7分
， ，
， . ………….. 11分
的分布列为:
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
17、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,
PA2 + AD2 = PD2, 即：PA AD ---2分
又PA CD , AD , CD 相交于点D,
PA 平面ABCD -------4分
（Ⅱ）过E作EG//PA 交AD于G，
从而EG 平面ABCD，
且AG = 2GD , EG = PA =, ------5分
连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ，交AC于H，
连接EH． GH AC , EH AC ,
EHG为二面角D—AC―E的平面角． -----6分
tanEHG = =．二面角D—AC―E的平面角的余弦值为-------8分
（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）, = （1,1,0）,
= （0 , , ） ---9分
设平面AEC的法向量= （x, y,z） , 则
，即：， 令y = 1 ,
则= （- 1,1, - 2 ） -------------10分
假设侧棱PC上存在一点F, 且＝ ，
（0 1）, 使得：BF//平面AEC, 则 ＝ 0．
又因为：＝+ ＝ （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,
＝+ 1- - 2 = 0 , =,
所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC． ----------------13分
18. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知得，，． ……2分
所以曲线的方程为（）． ……3分
曲线的方程为（）． ……4分
（Ⅱ）将代入，得．……5分
设，，则，，．
所以． ……7分
将代入，得．
设，则，，
所以． ……9分
因为，所以
则直线的斜率， ……11分
所以直线的方程为：，即．…12分
故过定点． ……13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：由得代入得
整理得，----------------------------------------------------------------1分
∵否则，与矛盾
从而得, ---------------------------------------------------------------------3分
∵∴数列是首项为1，公差为1的等差数列------------------4分
（Ⅱ）∵，则．
∴＝
＝---------------------------------------------------6分
证法1：∵
＝＝
∴．-----------------------------------------------------------------8分
证法2：∵ ∴
∴
∴．---------------------------------------------------------------8分
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
①当时，不等式成立；-----------9分
②假设当（，）时，不等式成立，即
，那么当时
---------------------------------------------------------12分
＝
∴当时，不等式成立
由①②知对任意的,不等式成立．---------------------------------------------------14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）， ---------3分
（Ⅱ）由（1），
设，得，
，
---------------------------------------------------9分
（Ⅲ）证明：由
当x>0时，
由
当n=1时，
结论成立
对 ----------------------------------------------14分
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