立体几何平行与垂直证明题

1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点

（1）求证：EFGH是平行四边形

（2）若BD=，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

证明：在中，∵分别是的中点∴

同理，∴∴四边形是平行四边形。

(2) 90°   30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形中，，是的中点。

求证：（1）平面CDE;

（2）平面平面。  

证明：（1）

同理，

又∵       ∴平面

（2）由（1）有平面

又∵平面，    ∴平面平面

考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体中，是的中点，

求证： 平面。

证明：连接交于，连接，

∵为的中点，为的中点

∴为三角形的中位线 ∴

又在平面内，在平面外

∴平面。 

考点：线面平行的判定

4、已知中,面,,求证：面．

证明：° 

  又面 

 面

又

面

考点：线面垂直的判定

5、已知正方体，是底对角线的交点.

求证：(１) C1O∥面；(2)面． 

证明：（1）连结，设，连结

∵ 是正方体 是平行四边形

∴A1C1∥AC且 

又分别是的中点，∴O1C1∥AO且

是平行四边形

面，面  ∴C1O∥面

（2）面 

又，   

同理可证，  又

面

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

. 7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

 (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

    又BD ?平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，

    ∴BD∥平面B1D1C．

    同理A1D∥平面B1D1C．

    而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

 (2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

    从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体中，分别为的中点，且，

，求证：平面 

证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴

，又∴，∴在中，

    ∴，∴，又，即， 

    ∴平面 

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，

（1）求证：；（2）当，时，求的长。

证明：（1）取的中点，连结，∵是的中点，

∴，∵ 平面 ，∴  平面                           

∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，∵∴，又，∴

    ∴，∴，由三垂线定理得

    （2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴

考点：三垂线定理

10、如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.

证明：∵、分别是、的中点，∥

又平面，平面∥平面

∵四边形为平行四边形，∥

又平面，平面∥平面

，平面∥平面

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体中，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

证明：（1）设，

∵、分别是、的中点，∥

又平面，平面，∥平面

（2）∵平面，平面，

又，，平面，平面，平面平面

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知是矩形，平面，，，为的中点．

（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角．

证明：在中，，

∵平面，平面，

又，平面

（2）为与平面所成的角

在，，在中，

在中，，

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的大小．

证明：（1）为等边三角形且为的中点，

又平面平面，平面

（2）是等边三角形且为的中点，

且，，平面，

平面，

（3）由，∥，

又，∥，

为二面角的平面角

在中，，

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

14、如图1,在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．

证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，， 

∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥． 

设正方体棱长为，则，．

在Rt△中，．∵，∴． 

∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

      证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

      ∵，∴．   

  ∵，∴．

      又，∴平面CDF．

      ∵平面CDF，∴．

      又，，　

      ∴平面ABE，．

      ∵，，，

∴ 平面BCD．

考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

    证明：连结AC

    ∴ AC为A1C在平面AC上的射影

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，

求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，

∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=a，

AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）