【打印版】2021年上海市宝山区中考一模数学试卷及解析

一、选择题（共6小题；共24分）

1. 如果  是线段  延长线上一点，且 ，那么  等于 

2. 在  中，，，，那么  的值为 

3. 如图，，，已知 ，，那么  等于  

4. 已知点  是线段  的中点，那么下列结论中，正确的是 

 ； ； ； ．

5. 将抛物线  先向右平移  个单位长度，再向上平移  个单位长度，两次平移后得到的抛物线的表达式为 

6. 如图所示是二次函数  图象的一部分，那么下列说法中不正确的是  

 ；

 抛物线的对称轴为直线 ；

 ；

 点  和  在抛物线上，则 ．

二、填空题（共12小题；共48分）

7. 如果 ，那么  =                ．

8. 已知线段  厘米， 厘米，那么线段  和  的比例中项  的长度为                厘米．

9. 如果线段  的长为 ，点  是线段  的黄金分割点，那么较短的线段                  ．

10. 计算：                 ．

11. 已知等腰梯形上底为 ，高为 ，底角的余弦值为 ，那么其周长为                ．

12. 某厂七月份的产值是  万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为  九月份的产值为  万元，那么  关于  的函数解析式为                ．（不要求写定义域）

13. 如果抛物线 （ 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向                ．

14. 已知一条抛物线具有以下特征：（）经过原点；（）在  轴左侧的部分，图象上升，在  轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：                ．

15. 如图，已知  中，，，如果四边形  的面积为 ，那么  的面积为                ．

16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮．如图，已有的铁皮是 ，，要截得的正方形  的边  在  上．顶点 ， 分别在边 ， 上，如果 ，，那么正方形铁皮的边长为                ．

17. 如图，某堤坝的坝高为  米，如果迎水坡的坡度为 ，那么该大坝迎水坡  的长度为                米．

18. 等腰  中，，，点 ， 分别是边 ， 的中点．已知点  在线段  上，联结 ，将线段  绕点  逆时针旋转  得到线段 ．如果点 ，， 在同一直线上，那么                  ．

三、解答题（共7小题；共88分）

19. 计算：．

20. 如图 ，已知  中，，且  经过  的重心点 ，，．

（1）试用向量 ， 表示向量 ；

（2）求作向量 ．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

21. 已知二次函数  的图象经过点 ．

（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；

（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线 ?如果能，请说明怎样平移：如果不能，请说明理由．

22. 如图 ，点  是菱形  的对角线  上一点，联结  并延长，交  于点 ，交  的延长线于点 ．

（1）求证：；

（2）如果 ，，求  的值．

23. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼  高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：

（1）根据测量方案和所得数据，第                 组的数据无法算出大楼高度?

（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．

 参考数据：，，．

24. 已知抛物线  经过 ， 两点，抛物线的对称轴与  轴交于点 ，点  与点  关于抛物线的对称轴对称，连接 ，．

（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；

（2）点  在线段  上，当  时，求点  的坐标；

（3）点  在对称轴上，点  在抛物线上，当以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．

25. 如图，已知  中，，，点 ， 在边  上，，过点  作  的垂线交  的延长线于点 ，联结 ．

（1）求证：；

（2）当 ， 时，求  的长；

（3）过点  作射线  的垂线，垂足为点 ．设 ，，求  关于  的函数关系式，并写出定义域．

答案

第一部分

1.  A

2.  A

3.  D

4.  B

5.  C

6.  B

第二部分

7.  

8.  

9.  

10.  

11.  

12.  

13.  向上

14.  （答案不唯一）

15.  

16.  

17.  

18.  

第三部分

19.  

20. （1） 

      （2） 所求作向量为 （图略）

21. （1） 由二次数图象经过点  得 ，，

  二次函数解析式为 ，

 ，

  顶点坐标为 ．

      （2） ，

  该抛物线顶点坐标为 ，

  原抛物线可通过向左平移  个单位，再向下平移  个单位得到抛物线 ．

22. （1） 由菱形  可得 ，，，

 ；

 ；

 ．

 ．

      （2） 联结 ，

由 ， 得 ，

由菱形 ，可得 ，

 ．

 ，

 ．

 ．

 ，

 ．

 ．

 ．

 ，

 ．

 ．

23. （1） 二

      （2） 第一组：

在  中，，由 ，

得 ．

设 ，则 ，

在  中，由 ，

 ，

得 ．

解得 ．

答：教学大楼的高度是  米．

第三组：

在  中，，由 ，

得 ．

在  中，由 ，，

得 ，

设 ，则 ．

在  中，由 ，，

得 ．

解得 ．

答：教学大楼的高度是  米．

24. （1）  经过 ，，

由题意得  解得  

  二次函数解析式为 ，

  抛物线的对称轴为直线 ．

      （2） 由抛物线的对称轴与  轴交于点 ，点  与点  关于抛物线的对称轴对称可得 ，且 ，．

 ，．

 ，

 ．

 ，

 ．

 ．

 ，即 ．

 ，．

过点  作 ，垂足为点 ，

在  中，由  可得 ．

  点  的坐标为 ．

      （3） 以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，

分类讨论：

 ） 为对角线， 与  互相垂直且平分，

可得 ，．

 ．

 ） 为边， 与  互相平行且相等，

可得 ， 或 ．

 ．

25. （1）  中，，，，

 ．

又 ，

 ．

 ，

 ．

      （2） ，

 ，

 ，

 ．

又 ，，

 ．

 ，

 ，．

可得 ，

 ．

      （3） 延长  交  延长线于点 ．

 ，，

可得 ．

又 ，

 ，

 ．

 ．

 ，

 ，

 ，

 ．

 ，

 ．

 ，

 ．

 ，

 ．