2012高考理科数学(全国卷)及答案(高清版)

数学理工农医类(全国卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．

第Ⅰ卷

第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

一、选择题

1．复数(　　)

A．2＋i      B．2－i      C．1＋2i      D．1－2i

2．已知集合A＝{1,3， }，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝(　　)

A．0或      B．0或3      C．1或      D．1或3

3．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为(　　)

A．      B． 

C．      D． 

4．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)

A．2      B．      C．      D．1

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为(　　)

A．      B．      C．      D． 

6．△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)

A．      B． 

C．      D． 

7．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝(　　)

A．      B．      C．      D． 

8．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)

A．      B．      C．      D． 

9．已知x＝ln π，y＝log52，，则(　　)

A．x＜y＜z      B．z＜x＜y

C．z＜y＜x      D．y＜z＜x

10．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(　　)

A．－2或2      B．－9或3      C．－1或1      D．－3或1

11．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)

A．12种      B．18种      C．24种      D．36种

12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)

A．16      B．14      C．12      D．10

第Ⅱ卷

第Ⅱ卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为__________．

14．)当函数y＝sinx－cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.

15．若(x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为__________．

16．三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C．

18．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

19．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．

20．设函数f(x)＝ax＋cosx，x∈[0，π]．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设f(x)≤1＋sinx，求a的取值范围．

21．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.

(1)求r；

(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

22．函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．

(1)证明：2≤xn＜xn＋1＜3；

(2)求数列{xn}的通项公式．

1． C　.

2． B　∵A＝{1,3， }，B＝{1，m}，A∪B＝A，

∴m＝3或.

∴m＝3或m＝0或m＝1.

当m＝1时，与集合中元素的互异性不符，故选B项．

3． C　∵焦距为4，即2c＝4，∴c＝2.

又∵准线x＝－4，∴.

∴a2＝8.∴b2＝a2－c2＝8－4＝4.

∴椭圆的方程为，故选C项．

4． D　连结AC交BD于点O，连结OE，

∵AB=2，∴.

又，则AC=CC1.

作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.

由OE为△ACC1的中位线知，

CM⊥OE，M为CH的中点．

由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，

∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.

∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．

又△ACC1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.

5． A　，∴a1＝1.

∴.

∴an＝1＋(n－1)×1＝n.∴.

设的前n项和为Tn，

则

＝

＝.

6． D　∵a·b＝0，∴a⊥b.

又∵|a|＝1，|b|＝2，

∴.

∴.

∴.

∴.

7． A　∵sinα＋cosα＝，且α为第二象限角，

∴α∈(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)．

∴2α∈(4kπ＋π，4kπ＋)(k∈Z)．

由(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝，

∴.∴.

9． D　∵x＝ln π＞1，y＝log52＞，

，且＜e0＝1，∴y＜z＜x.

10． A　y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．

当y′＞0时，x＜－1或x＞1；

当y′＜0时，－1＜x＜1.

∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．

∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．

要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：

f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，

∴c＝－2或c＝2.

11． A　如图，由于每行、每列的字母都互不相同，故只须排好1,2,3号格即可，显然1号格有3种选择，2,3号格均有两种选择，所以不同的排法共有3×2×2＝12种．

12． B　结合已知中的点E，F的位置，由反射与对称的关系，可将点P的运动路线展开成直线，如图．

当点P碰到E时，m为偶数，且，

即4m＝3n.

故m的最小值为6，n＝8，线段PE与网格线交点的个数为(除E点外)6＋8＝14个．

(PE的方程为，即4y＝3x－，x，y不能同时为整数，所以PE不过网格交点)

13．答案：－1

解析：由题意画出可行域，由z＝3x－y得y＝3x－z，要使z取最小值，只需截距最大即可，故直线过A(0,1)时，z最大．

∴zmax＝3×0－1＝－1.

14．答案： 

解析：y＝sinx－cosx＝．

当y取最大值时，，∴x＝2kπ＋.

又∵0≤x＜2π，∴.

15．答案：56

解析：∵，∴n＝8.Tr＋1＝x8－r()r＝x8－2r，

令8－2r＝－2，解得r＝5.∴系数为.

16．答案： 

解析：取BC的中点O，连结AO，A1O，BA1，CA1，易证BC⊥AO，BC⊥A1O，从而BC⊥AA1，又BB1∥AA1，BB1⊥BC．

延长CB至D，使BD=BC，连结B1D，则B1D∥BC1，设BC=1，则，.

所以，所求角的余弦值为.

17．解：由B＝π－(A＋C)，得cosB＝－cos(A＋C)．

于是cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sinAsinC，由已知得sinAsinC＝.①

由a＝2c及正弦定理得sinA＝2sinC．②

由①②得，

于是(舍去)或.

又a＝2c，所以.

18．解法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．

又PA⊥底面ABCD，

所以PC⊥BD．

设AC∩BD=F，连结EF.

因为，PA=2，PE=2EC，

故，，，

从而，，

因为，∠FCE=∠PCA，

所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，

由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED．

(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．

因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC．

又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC．

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，

故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，

所以底面ABCD为正方形，AD＝2，.

设D到平面PBC的距离为d.

因为AD∥BC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD∥平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.

设PD与平面PBC所成的角为α，则.

所以PD与平面PBC所成的角为30°.

解法二：(1)证明：以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.

设C(，0,0)，D(，b,0)，其中b＞0，

则P(0,0,2)，E(，0，)，B(，－b,0)．

于是＝(，0，－2)，＝(，b，)，＝(，－b，)，从而，，

故PC⊥BE，PC⊥DE.

又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.

(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．

设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，

则m·＝0，m·＝0，

即2z＝0且x－by＝0，

令x＝b，则m＝(b，，0)．

设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，

则n·＝0，n·＝0，

即且，

令p＝1，则，，n＝(1，，)．

因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即，故，

于是n＝(1，－1，)，＝(，，2)，

，〈n，〉＝60°.

因为PD与平面PBC所成角和〈n，〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.

19．解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；

Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；

A表示事件：第3次发球，甲得1分；

B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；

C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．

(1)B＝A0·A＋A1·，

P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，

P(B)＝P(A0·A＋A1·)

＝P(A0·A)＋P(A1·)

＝P(A0)P(A)＋P(A1)P()

＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.

(2)(理)P(A2)＝0.62＝0.36.

ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝P(A2·A)＝P(A2)P(A)＝0.36×0.4＝0.144，

P(ξ＝2)＝P(B)＝0.352，

P(ξ＝3)＝P(A0·)＝P(A0)P()＝0.16×0.6＝0.096，

P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)

＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.

Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096＝1.400.

20．解：(1)f′(x)＝a－sinx.

①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，时，f′(x)＝0，所以f(x)在[0，π]是增函数；

②当a≤0时，f′(x)≤0，且仅当a＝0，x＝0或x＝π时，f′(x)＝0，

所以f(x)在[0，π]是减函数；

③当0＜a＜1时，由f′(x)＝0，解得x1＝arcsina，x2＝π－arcsina.

当x∈[0，x1)时，sinx＜a，f′(x)＞0，f(x)是增函数；

当x∈(x1，x2)时，sinx＞a，f′(x)＜0，f(x)是减函数；

当x∈(x2，π]时，sinx＜a，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

(2)由f(x)≤1＋sinx，得f(π)≤1，aπ－1≤1，

所以.

令g(x)＝sinx－x(0≤x≤)，

则g′(x)＝cosx－.

当x∈(0，arccos)时，g′(x)＞0，

当x∈(arccos，)时，g′(x)＜0.

又g(0)＝g()＝0，

所以g(x)≥0，即x≤sinx(0≤x≤)．

当a≤时，有f(x)≤x＋cosx.

①当0≤x≤时， x≤sinx，cosx≤1，

所以f(x)≤1＋sinx；

②当≤x≤π时，f(x)≤x＋cosx＝1＋(x－)－sin(x－)≤1＋sinx.

综上，a的取值范围是(－∞，]．

21．解：(1)设A(x0，(x0＋1)2)，对y＝(x＋1)2求导得y′＝2(x＋1)，

故l的斜率k＝2(x0＋1)．

当x0＝1时，不合题意，所以x0≠1.

圆心为M(1，)，MA的斜率.

由l⊥MA知k·k′＝－1，

即2(x0＋1)·＝－1，

解得x0＝0，故A(0,1)，

r＝|MA|＝，即.

(2)设(t，(t＋1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为y－(t＋1)2＝2(t＋1)(x－t)，

即y＝2(t＋1)x－t2＋1.

若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，

即，

化简得t2(t2－4t－6)＝0，

解得t0＝0，，.

抛物线C在点(ti，(ti＋1)2)(i＝0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y＝2x＋1，①

y＝2(t1＋1)x－t12＋1，②

y＝2(t2＋1)x－t22＋1，③

②－③得.

将x＝2代入②得y＝－1，故D(2，－1)．

所以D到l的距离.

22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤xn＜xn＋1＜3.

①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为

，

令y＝0，解得，所以2≤x1＜x2＜3.

②假设当n＝k时，结论成立，即2≤xk＜xk＋1＜3.

直线PQk＋1的方程为，

令y＝0，解得，

由归纳假设知；

xk＋2－xk＋1＝，

即xk＋1＜xk＋2.

所以2≤xk＋1＜xk＋2＜3，即当n＝k＋1时，结论成立．

由①②知对任意的正整数n,2≤xn＜xn＋1＜3.

(2)由(1)及题意得.

设bn＝xn－3，则，

，

数列{}是首项为，公比为5的等比数列．

因此，即，

所以数列{xn}的通项公式为.