2015高考数学全国卷1(完美版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的. 1．设复数z 满足1＋z

1－z

＝i ，则|z |＝

A ．1

B ． 2

C ． 3

D ．2

2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝

A ．－32

B ．32

C ．－12

D ．1

2

3．设命题P ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则￢P 为

A ．∀n ∈N ， n 2＞2n

B ．∃n ∈N ， n 2≤2n

C ．∀n ∈N ， n 2≤2n

D ．∃n ∈N ， n 2＝2n

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各

次投篮是否投中相互，则该同学通过测试的概率为

A ．0.8

B ．0.432

C ．0.36

D ．0.312

5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22

－y 2＝1 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若 MF 1→· MF 2

→

＜0 ，则y 0的取值范围是

A ．⎝⎛⎭⎫－33，33

B ．⎝⎛⎭⎫－36，36

C ．⎝⎛⎭⎫－

223，223 D ．⎝⎛⎭⎫－233

，233

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，

高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛

7．设D 为△ABC 所在平面内一点BC →＝3CD →

，则

A ．AD →＝－13A

B →＋43A

C → B ．A

D →

＝13AB →－43AC → C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →

＝43AB →－13

AC →

8．函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为

B ．⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋3

4 (k ∈Z )

C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34 (k ∈Z )

D ．⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3

4 (k ∈Z )

9．执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

10．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为

A ．10

B ．20

C ．30

D ．60 (第11题图)

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图

如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

12．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是

A .⎣⎡⎭⎫－32e ，1

B . ⎣⎡⎭⎫－32e ，34

C . ⎣⎡⎭⎫32e ，34

D . ⎣⎡⎭⎫3

2e ，1

2r

r

正视图俯视图 r

2r

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

13．若函数f (x )＝xln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝＿＿＿＿＿＿.

14．一个圆经过椭圆 x 216＋y 2

4

＝1 的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .

15．若x ，y 满足约束条件⎩

⎪⎨⎪⎧x －1≥0 (1)x －y ≤0 (2)x ＋y －4≤0 (3) ，则 y

x

的最大值为 .

16．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分12分)

S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n ＞0，a 2

n ＋2a n ＝4S n ＋4．

(Ⅰ)求{a n }的通项公式；

(Ⅱ)设b n ＝1

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和．

18．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，

DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ； (2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．

A B C F E D

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )

和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中w 1 ＝x 1， ，w － ＝1

8

∑x ＋1

w 1

(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.

2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

(ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)，……，(u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

β＝

∑i ＝1

n

(u i －u －

)(v i －v －) ∑i ＝1

n

(u i －u －)2

α＝v －－βu －

年宣传费/千元

20．(本小题满分12分)

在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝x 2

4

与直线y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，

(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.

21．(本小题满分12分)

已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋1

4

，g (x )＝－lnx ．

(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x ) 的切线；

(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )} (x ＞0)，讨论h (x )零点的个数．

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.．

22．(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ． (Ⅰ)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (Ⅱ)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 1，C 2的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线C 3的极坐标方程为 θ＝π

4

(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M 、N ，求△C 2MN 的面积．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0．

(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；

(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．