2019-2020学年江苏省徐州市高一下学期期末考试数学试题及答案

一、单选题

1．已知点()1,6M ，()7,3N ，则直线MN 的斜率为（

）A ．2-B ．1

2-C ．1

2

D ．22．sin 37cos 23cos37sin 23︒︒︒︒+的值为（

）

A ．

B ．1

2-C ．1 2

D ．323．圆224610x y x y +-+-=的圆心坐标为（

）A ．(2,3)-B ．(2,3)

-C ．(2,3)--D ． (2,3)4．下列命题错误的是（

）A ．不在同一直线上的三点确定一个平面

B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

C ．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面

D ．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面

5．下列叙述正确的是（）

A ．频率是稳定的，概率是随机的

B ．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

C ．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小

D ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0()1

P A ≤≤6．在△ABC 中，已知∠B =60°，边AB =4，且△ABC 的面积为

，则边AC 的长为（

）

A ．2

B ．

C ．

D ．4

7．某同学5次考试的数学成绩x 与物理成绩y 的统计数据如下表，已知该同学的物理成绩y 与数学成绩x

是线性相关的，根据数据可得回归方程ˆy

bx a =+的b 的值为0.5，则当该生的物理成绩y 达到90分时，可以估计他的数学成绩为（

）数学x

103137112128120物理y

7188768481A ．140B ．142

C ．145

D ．148

8．阿基米德(Archimedes ，公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的数学家､物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为（）

A ．36π

B ．45π

C ．54π

D ．63π

二、多选题9．已知直线12:10,

:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（）A ．若12l l //，则m =-1或m =3

B ．若12l l //，则m =3

C ．若12l l ⊥，则1

2m =-D ．若12l l ⊥，则12

m =10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（

）A ．若sin sin B C >，则B >C

B ．若a =4，b =，4

A π=，则三角形有两解C ．若cos cos 0b

B c

C -=，则△ABC 一定为等腰直角三角形

D ．若cos cos 0b C c B -=，则△ABC 一定为等腰三角形

11．PM 2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM 2.5日均值(单位：3ug/m )的折线图，则下列关于这10天中PM 2.5日均值的说法正确的是（）

A ．众数为30

B ．中位数是31

C ．平均数小于中位数

D ．后4天的方差小于前4天的方差

12．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）

A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°

B ．直线1AB 与平面11AB

C

D 成角为45°

C ．二面角1A B C B --的正切值为2

D ．四面体11D AB C -的外接球的体积为

32

π三、填空题

13．已知tan 2,tan 1αβ==-，则tan()αβ-的值为________

本题考查两角差的正切公式，属于基础题．

14．过圆225x y +=上一点()1,2P -的圆的切线的一般式方程为________

15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍”，是端午节大

家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______________

四、双空题

16．如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD 的高度(旗杆CD 垂直于地面)，设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A ，B 两点，然后在A 处测得30BAC ︒∠=，在B 处测得105ABC ︒∠=，45DBC ︒∠=，由此可得旗杆CD 的高度为________米，CAD ∠的正切值为________.

五、解答题

17．已知()3,2A 和:210l x y -+=.

（1）求过点A 且与直线l 平行的直线方程；

（2）求点A 关于直线l 的对称点B 的坐标.

18．已知10,cos 243

ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭（1）求cos α的值；

（2）求sin 2α的值.

19．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,,

3

a b c A π=，________，且b =，请从

①222, b a c +=+② cos sin , a B b A =③sin cos B B +=

这三个条件中任选一个补充在横线

上，求出此时△ABC 的面积.

20．手机支付也称为移动支付(Mobile Payment )，是当今社会比较流行的一种付款方式.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15—65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的随机抽样调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图.

（1）求x ，a 的值；

（2）若从第1，3组中用分层抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数；

（3）在（2）抽取的5人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.

21．如图，在P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PA =

，2CA CB AB ===，D 为棱AB 的中点，点E 在棱PA 上.

（1）若AE EP =，求证：//PB 平面CDE ；

（2）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；

（3）若二面角B CD E --的大小为120°，求异面直线PC 与DE 所成角的余弦值.

22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：2248120x y x y +--+=，过点O 及点()2,0A -的圆N 与圆M 外切.

（1）求圆N 的标准方程；

（2）若过点A 的直线l 被两圆截得的弦长相等，求直线l 的方程；

（3）直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为P ，Q (不重合)，满足2BQ BP =？若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由.

数学试题参

1-8BDBCD

CAC 9.BD 10.ABD 11.AD 12.ACD 13.-3;14.250x y --=;15.423；

16.62

217.解：（1），将点()3,2代入，得4C =-，

故所求直线的方程为240x y --=.

（2）设(),B m n ，直线l 的斜率为2，线段AB 的中点

32,22

m n ++，则由AB l ⊥及线段AB 的中点在直线l 上可得，

21323221022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得1m =-，4n =，所以点B 的坐标为()1,4-.

18.解：（1）因为02

πα<<，所以3444πππα<+<，所以sin 04απ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由1cos 43

πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭

，所以sin 43απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin sin 4

44444αααα⎡⎤ππππππ

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣

⎦1432326+=⨯+⨯=.（2）sin 2cos 22παα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

cos 24

α⎡⎤π⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22712cos 1499απ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭.19.

解：情形一：若选择①222b a c =+，

由余弦定理222cos 222

a c

b B a

c ac +-===，

因为(0,)B π∈，所以4

B π=；情形二：若选择②cos sin a B b A =，因为

sin sin a b A B =，则sin cos sin sin A B B A =，因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =，

因为(0,)B π∈，所以4

B π=；

情形三：若选择③sin cos B B +=

，则

22sin cos sin cos 22B B B B ⎫+=+=⎪⎪⎝⎭

4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin(14

B π+=，因为()0,B π∈，所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以42B ππ+=，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B =

，得sin

sin 3sin 2

2b A a B π==因为3A π=，4

B π=，所以53412

C ππππ=--=，

所以5sin sin

sin sin cos sin 124C πππππππ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，

所以116233sin 2244

ABC S ab C +===△.20.解：（1）由题意可知，0.021010020x =⨯⨯=，

所以100(2035123)30y =-+++=，从而11300.0310010

a =⨯⨯=.（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例是

110，则从第1组抽取的人数为120210⨯

=，从第3组抽取的人数为130310

⨯=.

（3）设第1组抽取的2人为1A ，2A ，第3组抽取的3人为1B ，2B ，3B ，则从这5人中随机抽取2人有如下种情形：

12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B 共有10个基本事件.

其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有12(,)A A ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B 共4个基本事件，

所以抽取的2人来自同一个组的概率42105

P =

=.21.解：（1）由AE EP =，可知E 为棱PA 的中点，又因为D 为棱AB 的中点，所以在△PAB 中，//DE PB ，

因为PB ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，

所以//PB 平面CDE .

（2）因为PA ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，在△ABC 中，CA CB =，D 为AB 的中点，所以AB CD ⊥，又因为PA AB A = ，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ，

所以CD ⊥平面PAB

又因为CD ⊂平面CDE ，所以平面PAB ⊥平面CDE .

（3）由题意知，二面角A CD E --的大小为60︒，

由（2）的证明可知，CD ⊥平面PAB ，又因为DE ⊂平面PAB ，所以DE CD ⊥，又AB CD ⊥，所以ADE ∠即为二面角A CD E --的平面角，所以60ADE ∠=︒，因为PA ⊥底面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以PA AB ⊥，

在△ADE 中，112

AD AB ==，90EAD ∠=︒，60ADE ∠=︒，所以AE =

因为PA =，所以E 为棱PA 的中点，故//DE PB ，

于是BPC ∠即为异面直线PC 与DE 所成的角.

易知△PAB ≌△PAC ，故24PB PC ED ===，2BC =，

在△PBC 中，由余弦定理知，2224427cos 2448BPC +-∠==⨯⨯，所以异面直线PC 与DE 所成角的余弦值为78

.22.解：（1）由题意知，圆N 的圆心N 在直线1x =-上，设(1,)N b -，半径为r ，

因为圆N 与圆M 外切，且圆M 的圆心(2,4)M ，半径为，

所以MN r =+，

即229(4)(b r +-=+①

又ON r =，即221b r +=②

由①得，42b -=，代入②得，2870b b -+=，

解得1b =或7b =(舍)

，所以r =，

故所求圆N 的标准方程为22(1)(1)2x y ++-=.

（2）当l 的斜率不存在时，l 的方程为：2x =-，与圆M 相离，不符合题意.当l 的斜率存在时，设为k ，故l 的方程为(2)y k x =+，

则圆心M 到直线l

的距离为：1d =；圆心N 到直线l

的距离为：2d =因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方，又l 被两圆截得的弦长相等，

所以=，即231030k k -+=，解得3k =或13

k =，故直线l 的方程为360x y -+=或320x y -+=.

（3）设(,)B x y ，由2BQ BP =可知，224BQ BP =，

即2224(8)BN BM -=-，所以22430BN BM =-，

即2222(1)(1)4[(2)(4)]30x y x y ++-=-+--，

整理得22(3)(5)18x y -+-=①，

又直线MN 的方程为20x y -+=②，

由①②联立解得，0x =，2y =或6x =，8y =，

由P ，Q 两点不重合，故0x =，2y =不合题意，舍去，

故存在点(6,8)B 符合题意.