两点边值问题的有限差分法

通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。

二．实验内容

考虑如下的初值问题：

    (1)

                                      (2)

其中，，，，是给定常数。

     将区间等分，设，网点。 

1．在第三部分写出问题（1）和（2）的差分格式，并给出该格式的局部截断误差。

2．根据你写出的差分格式，编写一个有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。

3．给定参数，，，，问题(1)的精确解，其中将及带入方程(1)可得。分别取，用所编写的程序计算问题(1)和(2)。将数值解记为，，网点处精确解记为，。然后计算相应的误差，及收敛阶，将计算结果填入第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？

4. 将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。

三．实验原理、方法（算法）、步骤

1.差分格式：

=-1/h^2(-()+)+()/2h+=

A,

2.局部阶段误差：

   (u)=O(h^2)

3.程序

clear all

N=10;

a=0;b=1;

p=@(x) 1;

r=@(x) 2;

q=@(x) 3;

alpha=0;beta=1;

f=@(x) (4*x^2-2)*exp(x-1);

h=(b-a)/N;

H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1); %

for i=1

    H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);

    H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));    

    g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha;

end

for i=2:N-2

    H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));

    H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);

    H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));    

    g(i)=2*h*f(a+i*h);

end

for i=N-1

    H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));

    H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);

    g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h))*beta;

end

u=H\\g;

u=[alpha;u;beta];

x=a:h:b;

y=(x.^2).*exp(x-1);

plot(x,u);

hold on

plot(x,y);

y=y'

z=y-u

四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件

Matlab

五．实验结果及实例分析

N