人教版必修二直线与方程单元测试题(含答案)

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知点A(1，)，B(－1，3)，则直线AB的倾斜角是(　　)

A．60°     B．30°

C．120°     D．150°

[答案]　C

2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为(　　)

A．x－y＋1＝0     B．x－y－1＝0

C．x－y－3＝0     D．x－y＋3＝0

[答案]　D

3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为(　　)

A．－3     B．－6

C．     D．

[答案]　B

4．直线－＝1在y轴上的截距为(　　)

A．|b|     B．－b2

C．b2     D．±b

[答案]　B

5．已知点A(3,2)，B(－2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a的值是(　　)

A．0     B．－4

C．－8     D．4

[答案]　C

6．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

[答案]　D

7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)

A．－2     B．－7

C．3     D．1

[答案]　C

8．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是(　　)

A．19x－9y＝0     B．9x＋19y＝0

C．3x＋19y＝0     D．19x－3y＝0

[答案]　C

9．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点(　　)

A．(0,0)     B．(，)

C．(，)     D．(，)

[答案]　C

10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)

A．x＋2y－1＝0     B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0     D．x＋2y－3＝0

[答案]　D

11．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于(　　)

A．－4     B．－2

C．0     D．2

[答案]　B

12．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是(　　)

A．(2,0)或(4,6)     B．(2,0)或(6,4)

C．(4,6)     D．(0,2)

[答案]　A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为_________.

[答案]　－

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－1，又y1＝1，∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3)，又＝1，∴x1＝－2，即A(－2,1)，∴kAB＝＝－.

14．点A(3，－4)与点B(5,8)关于直线l对称，则直线l的方程为_________.

[答案]　x＋6y－16＝0

[解析]　直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中点为(4,2)，kAB＝6，所以kl＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋6y－16＝0.

15．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_________.

[答案]　3

[解析]　依题意，知l1∥l2，故点M所在直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.

16．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°，其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号)

[答案]　①⑤

[解析]　两平行线间的距离为

d＝＝，

由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，

所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.

[点评]　本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(2015·河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－，

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

[解析]　(1)直线l的方程为：y－5＝－(x＋2)整理得

3x＋4y－14＝0.

(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，

d＝＝3，

解得n＝1或－29.

∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.

18．(本小题满分12分)求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程．

[解析]　解法一：设所求直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.

由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得

－·(－)＝－1.

解得λ＝.

故所求直线方程是3x－y＋2＝0.

解法二：设所求直线方程为3x－y＋m＝0.

由解得

即两已知直线的交点为(－1，－1)．

又3x－y＋m＝0过点(－1，－1)，

故－3＋1＋m＝0，m＝2.

故所求直线方程为3x－y＋2＝0.

19．(本小题满分12分)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2.

[分析]　解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|＝|PB|”和“到直线的距离为2”列方程求解；二是几何法，利用点P在AB的垂直平分线上及距离为2求解．

[解析]　解法1：设点P(x，y)．因为|PA|＝|PB|，

所以＝.    ①

又点P到直线l的距离等于2，

所以＝2.    ②

由①②联立方程组，解得P(1，－4)或P(，－)．

解法2：设点P(x，y)．因为|PA|＝|PB|，

所以点P在线段AB的垂直平分线上．

由题意知kAB＝－1，线段AB的中点为(3，－2)，所以线段AB的垂直平分线的方程是y＝x－5.

所以设点P(x，x－5)．

因为点P到直线l的距离等于2，所以＝2.

解得x＝1或x＝.

所以P(1，－4)或P(，－)．

[点评]　解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题．其中解法2是利用了点P的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现，多思考．

20．(本小题满分12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.

(1)求直线AB的方程；

(2)求直线BC的方程；

(3)求△BDE的面积．

[解析]　(1)由已知得直线AB的斜率为2，

∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)，

即2x－y＋1＝0.

(2)由得

即直线AB与直线BE的交点为B(，2)．

设C(m，n)，

则由已知条件得

解得∴C(2,1)．

∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0.

(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1,1)．

∴|BE|＝＝，

由得

∴D(，)，

∴D到BE的距离为d＝＝，

∴S△BDE＝·d·|BE|＝.

21．(本小题满分12分)直线过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：

(1)△AOB的周长为12；

(2)△AOB的面积为6.

若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

[解析]　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，

若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，①

又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②

由①②可得5a2－32a＋48＝0，

解得或

∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.

若满足条件(2)，则ab＝12，③

由题意得，＋＝1，④

由③④整理得a2－6a＋8＝0，

解得或

∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.

综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.

22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上．

(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；

(2)当－2＋≤k≤0时，求折痕长的最大值．

[解析]　(1)①当k＝0时，A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝.

②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)，

∴A与G关于折痕所在的直线对称，

有kOG·k＝－1⇒·k＝－1⇒a＝－k.

故G点坐标为(－k,1)，

从而折痕所在直线与OG的交点坐标(即线段OG的中点)为M(－，)．

故折痕所在的直线方程为y－＝k(x＋)，即y＝kx＋＋.

由①②得折痕所在的直线方程为y＝kx＋＋.

(2)当k＝0时，折痕的长为2.

当－2＋≤k＜0时，折痕所在直线交直线BC于点E(2,2k＋＋)，

交y轴于点N(0，)．

则|NE|2＝22＋[－(2k＋＋)]2＝4＋4k2≤4＋4(7－4)＝32－16.

此时，折痕长度的最大值为＝2(－)．

而2(－)＞2，

故折痕长度的最大值为2(－)．