2023年湖南省娄底市普通高校对口单招数学自考测试卷(含答案)

一、单选题(10题)

1.设a，b为正实数，则“a>b>1”是“㏒2a＞㏒2b＞0的（）

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条

2.不等式组的解集是（）

A.{x|0＜x＜2}

B.{x|0＜x＜2.5}

C.{x|0＜x＜}

D.{x|0＜x＜3}

3.同时掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚出现正面的概率是（）

A.l B.3/4 C.1/2 D.1/4

4.下列函数是奇函数且在区间(0, 1)内是单调递增的是( )

A.y = x B.y = lgx C.y = ex D.y = cosx

5.

A.-1 B.-4 C.4 D.2

6.已知函数f(x)=sin(2x+3π/2)(x∈R)，下面结论错误的是（）

A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)是偶函数

C.函数f(x)是图象关于直线x=π/4对称

D.函数f(x)在区间[0，π/2]上是增函数

7.为了得到函数y=sin1/3x的图象，只需把函数y=sinx图象上所有的点的（）

A.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

B.横坐标缩小到原来的1/3倍，纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

D.纵坐标缩小到原来的1/3倍，横坐标不变

8.

A.

B.

C.

D.

9.下列函数中，既是偶函数又在区间（-∞，0)上单调递增的是（）

A.f(x)=1/x2

B.f(x）=x2+1

C.f(x)=x3

D.f(x)-2-x

10.已知点A(-1，2)，B(3，4)，若，则向量a=()

A.(-2，-1) B.(1,3) C.(4,2) D.(2,1)

二、填空题(10题)

11.若ABC的内角A满足sin2A=则sinA+cosA=_____.

12.

13.cos45°cos15°+sin45°sin15°= 。

14.当0＜x＜1时，x(1-x)取最大值时的值为________.

15.拋物线的焦点坐标是_____.

16.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边为a，b，c，C=30°,a=c=2.则b=____.

17.甲，乙两人向一目标射击一次，若甲击中的概率是0.6，乙的概率是0.9，则两人都击中的概率是_____.

18.

19.

20.

三、计算题(5题)

21.甲、乙两人进行投篮训练，己知甲投球命中的概率是1/2，乙投球命中的概率是3/5,且两人投球命中与否相互之间没有影响.

(1) 若两人各投球1次，求恰有1人命中的概率;

(2) 若两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.

22.己知直线l与直线y=2x + 5平行，且直线l过点(3,2).

(1)求直线l的方程;

(2)求直线l在y轴上的截距.

23.有四个数，前三个数成等差数列，公差为10，后三个数成等比数列，公比为3，求这四个数.

24.

(1) 求函数f(x)的定义域;

(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

25.某小组有6名男生与4名女生，任选3个人去参观某展览，求

(1) 3个人都是男生的概率;

(2) 至少有两个男生的概率.

四、简答题(10题)

26.平行四边形ABCD中，CBD沿对角线BD折起到平面CBD丄平面ABD，求证：AB丄DE。

27.已知是等差数列的前n项和，若，.求公差d.

28.已知抛物线的焦点到准线L的距离为2。

（1）求拋物线的方程及焦点下的坐标。

（2）过点P（4，0）的直线交拋物线AB两点，求的值。

29.设函数是奇函数（a，b，c∈Z）且f（1）=2，f（2）＜3.

（1） 求a，b，c的值；

（2） 当x＜0时，判断f（x）的单调性并加以证明.

30.某商场经销某种商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买，根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，求3为顾客中至少有1为采用一次性付款的概率。

31.化简a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2cot765°-2abcos(-1080°)

32.已知向量a=（1，2），b=（x，1），μ=a+2b， v=2a-b且μ//v；求实数x。

33.已知函数.

（1） 求f（x）的定义域；

（2） 判断f（x）的奇偶性，并加以证明；

（3） a＞1时，判断函数的单调性并加以证明。

34.证明：函数是奇函数

35.解不等式组

五、解答题(10题)

36.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A系列每日的销售量f(x)(单位：千克）与销售价格x(元/千克）近似满足关系式f(x)=a/x-4+10(1-7)2其中4＜x＜7，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售A系列所获得的利润最大.

37.已知数列{an}是的通项公式为an=en（e为自然对数的底数）；

(1)证明数列{an}为等比数列；

(2)若bn=Inan，求数列{1/bnbn+1}的前n项和Tn.

38.已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的两焦点分别F1,F2点P在椭圆C上，且∠PF2F1=90°,|PF1|=6,|PF2|=2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线L与椭圆C相交于A、B两点，且使线段AB的中点恰为圆M:x2+y2+4x-2y=0的圆心，如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由.

39.

40.给定椭圆C:x2/a2+y2/b2(a＞b＞0)，称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆已知椭圆C的离心率为/2，且经过点(0，1).

(1)求椭圆C的方程；

(2)求直线l:x—y+3=0被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长.

41.

42.如图，在三棱锥A-BCD中，AB丄平面BCD,BC丄BD,BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°点E，F分别是AC，AD的中点.

(1)求证:EF//平面BCD;

(2)求三棱锥A-BCD的体积.

43.已知函数f(x)=ex(ax+b)—x2—4x，曲线:y=f(x)在点（0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.

44.

45.

六、单选题(0题)

46.为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取240名学生进行测量，下列说法正确的是（）

A.总体是240 B.个体是每-个学生 C.样本是40名学生 D.样本容量是40

参

1.A

充要条件.若a＞b＞1，那么㏒2a＞㏒2b＞0;若㏒2a＞㏒26＞0,那么a＞b＞l

2.C

由不等式组可得，所以或，由①可得，求得；由②可得，求得，综上可得。

3.B

事件的概率.同时掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）共4种结果，至少有一枚出现正面的结果有3种，所求的概率是3/4

4.A

由奇函数定义已知，y=x既是奇函数也单调递增。

5.C

6.C

三角函数的性质.f(x)=sin(2x+3π/2）=-cos2x，故其最小正周期为π，故A正确;易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)=-cos2x的图象可知，函数f(x)的图象关于直线x=π/4不对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在[0，π/2]上是增函数，D正确，

7.A

三角函数图像的性质.y=sinx横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变y=sin1/3x.

8.C

9.A

函数的奇偶性，单调性.因为:y=x2在(-∞，0)上是单调递减的，故y=1/x2在(-∞，0)上是单调递增的，又y=1/x2为偶函数，故A对；y=x2+1在(-∞，0)上是单调递减的，故B错；y=x3为奇函数，故C错；y=2-x为非奇非偶函数，故D错.

10.D

11.

12.外心

13.

，

14.1/2

均值不等式求最值∵0＜

15.

，因为p=1/4，所以焦点坐标为.

16.三角形的余弦定理.a=c=2,所以A=C=30°,B=120°,所以b2=a2+c2-2accosB=12，所以b= 2

17.0.54，由于甲击中的事件和乙击中的事件互相，因此可得甲乙同时击中的概率为P=0.6*0.9=0.54.

18.-2/3

19.

20.0.4

21.

22.解：(1)设所求直线l的方程为：2x -y+ c = 0

∵直线l过点(3,2)

∴6-2 + c = 0

即 c = -4

∴所求直线l的方程为：2x - y - 4 = 0

(2) ∵当x=0时，y= -4

∴直线l在y轴上的截距为-4

23.

24.

25.

26.

27.根据等差数列前n项和公式得

解得：d=4

28.（1）拋物线焦点F（，0），准线L：x=-，∴焦点到准线的距离p=2

∴抛物线的方程为y2=4x，焦点为F（1，0）

（2）直线AB与x轴不平行，故可设它的方程为x=my+4，

得y2-4m-16=0

由设A（x1，x2），B（y1，y2），则y1y2=-16

∴

29.

∴  ∴得2c=0 ∴得c=0

又∵由f（1）=2 ∴得

又∵f（2）＜3 ∴ ∴得0＜b＜

∵b∈Z ∴b=1 ∴

（2）设－1＜＜＜0

∵ ∴ 

若时 

故当X＜-1时为增函数；当－1≤X＜0为减函数

30.

31.原式=

32.

∵μ//v

∴（2x+1.4）=（2-x，3）得

33.（1）-1＜x＜1

（2）奇函数

（3）单调递增函数

34.证明：∵

∴

则，此函数为奇函数

35.x2-6x＋8＞0，∴x＞4，x＜2（1）

（2）

联系（1）（2）得不等式组的解集为

36.（1)由题意可知，当x=6时，f(x)=15，即a/2+10=15，解得a=10,所以f(x)=10f(x-4)++10(x-7)2.

(2)设该商场每日销售A系列所获得的利润为h(x)，h(x)=(x-4)[10/x-4+10(x-7)2]=10x3-180x2+1050x-1950(4＜x＜7)，h(x)=30x2-360x+1050,令h(x)=30x2-360x+1050=0,得x=5或x=7(舍去），所以当4＜x＜5时，h(x)＞0，h(x)在(4,5]为增函数;当5＜x＜7，h(x)＜0，h(x)在[5,7)为减函数，故当x=5时，函数h(x)在区间(4,7)内有极大值点，也是最大值点，即x=5时函数h(x)取得最大值50.所以当销售价格为5元/千克时，A系列每日所获得的利润最大.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.D

确定总体.总体是240名学生的身高情况，个体是每一个学生的身高，样本是40名学生的身髙，样本容量是40.