微分几何 陈维桓 习题答案2

p. 58 习题3.1

2. 在球面上，命，. 对于赤道平面上的任意一点，可以作为一的一条直线经过两点，它与球面有唯一的交点，记为. 

(1) 证明：点的坐标是

，，，

并且它给出了球面上去掉北极的剩余部分的正则参数表示；

(2) 求球面上去掉南极的剩余部分的类似的正则参数表示；

(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；

(4) 证明球面是可定向曲面. 

证明. (1) 设. 如图，三点共线，故有使得

.                      (1)

由于，，，，取上式两边的模长平方，得. 从而

，.     (2)

由(1)可知

，

又，所以

，，

.          (3)

因此给出了的正则参数表示. 

(2)令是两点连线与赤道平面的交点. 同理，有

，，

，.    (4)

，，

.         (5)

因此(4)给出了的正则参数表示.

(3) 由(2)和(4)式可得，从而上面两种正则参数表示在公共部分上的参数变换公式为

，.                     (6)

由(3)和(5)可知

.

所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换. 

注. 如果采用复坐标，令，则上面的参数变换可写成. 这就是广义复平面上的共形变换. 

(4) 在上采用(1)式给出的正则参数表示，在上采用正则参数表示

则在公共部分的参数变换公式为

，.                     (4)

由于构成的开覆盖，并且

，

所以是可定向的.     □

5 写出单叶双曲面和双曲抛物面作为直纹面的参数方程. 

解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆

，

为准线. 设直母线的方向向量为. 则直纹面的参数方程为

.

由于的分量满足单叶双曲面的方程，可得

，.

由得任意性得到

，.

因此. 取得

，.

(2) 对双曲抛物面，令，，则. 曲面的参数方程为

，.

p. 94 习题3.2

1. 证明：一个正则参数曲面是球面它的所有法线都经过一个固定点. 

证明. “”设是球面，参数方程为，球心为，半径为. 则有

，.                   (1)

微分可得

，.                     (2)

所以，从而，即有函数使得

.                (3)

这说明球心在它的所有法线上. 

“” 设的所有法线都经过一个固定点. 则有函数使得(3)式成立，即有. 分别用作内积，可得(2). 这说明，从而(1)式成立，其中(否则只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此是以为球心，以为半径的球面，或球面的一部分.     □

3. 证明：一个正则参数曲面是旋转面它的所有法线都与一条固定直线相交.

证明. “”设是旋转面，旋转轴为轴. 它的参数方程为

，.

因为，，

，

所以上任意一点处的法线的参数方程为

.

由于轴的参数方程为，并且

，

所以与共面. 如果与处处平行，则，从而. 此时是垂直于轴的平面. 所以当不是垂直于轴的平面时，旋转面的所有法线都与轴相交. 

“” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为轴. 设的参数方程为

，. 

由条件，的所有法线都与轴相交，所以法线不能与轴平行，即

，.

因此，不能全为零. 不妨设在点邻近. 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成

，.                  (1)

于是

，，.

因为所有法线都与轴相交，，即有. 这说明是一个仅仅依赖于的函数. 设

，

其中. 作参数变换. 由上式得，的参数方程(1)可以改写为

.

这是一个旋转面，由平面上的母线绕轴旋转而得.     □

5. 设是圆锥面，是上的一条曲线. 

(1) 将曲线的切向量用的线性组合表示出来；

(2) 证明：的切向量平分了和的夹角. 

(1) 解. 的参数方程为

.

的切向量为

(2) 证明. 因为

，

在曲线上每一点处，

，.

由上可知. 所以

，；

，.  □

p. 104 习题3.3

2. 设球面的参数方程是

.

求它的第一基本形式. 

解. 记. 则

，，，

，.

所以

，

     ，

，

从而

.

5. 设在曲面上一点，由微分的二次方程

               (1)

确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交函数满足 

，

其中是曲面的第一基本形式. 

证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根和，因此可以分解为两个一次因子的乘积：

.          (2)

其中是关于变量的函数. 因为上式是关于文字的二次多项式，比较两边的系数，得

，，.               (3)

由(2)可知(1)所确定两个切方向为

，.                 (4)

这两个切方向彼此正交

   (课本(3.18))

         (由(4)式)

    .                  (由(3)式)      □

8. 已知曲面的第一基本形式为. 

(1) 求曲线与的交角；

(2) 求曲线，和所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角. 

(3) 求曲线，和所围成的曲边三角形的面积. 

解. (1) 已知. 因为交点为. 在交点处. 对于，；对于，. 所以它们的切方向满足

.

于是它们的交角为，或. 

(2) 不妨设常数. 如图，在曲纹坐标下，与的交点为，与的交点为，与的交点为. 

因为是计算内角，在点. 同理，，所以内角. 

在点，，所以

.

在点，，

.

所以，. 

曲线，，的弧长分别为

，

.

注. 在90版中，本题为，，，故

，

.

(3) 因为，所以曲边三角形的面积

p. 110 习题3.4

1. 设空间曲线以弧长为参数，曲率是. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网. 

解. 设曲线的Frenet标架是. 则它的切线曲面参数方程可写为

.

由，可得它的第一基本形式

.                        (1)

直母线(即-曲线)的正交轨线的微分方程为，即. 为此，作参数变换，. 则逆变换为，，切线曲面的参数方程为

.

在新参数下，

，. 

第一基本形式化为

.

所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将，直接代入(1)式得到上式：

.

3. 求曲线的参数曲线的正交轨线，其中是常数. 

解. ，. 

第一基本形式为

.

-曲线的正交轨线的微分方程为，即. 解这个微分方程：

，

得到-曲线的过的正交轨线为

.

-曲线的正交轨线的微分方程为，即. 过的正交轨线为. 

p. 110 习题3.5

1. 证明：在悬链面

，

与正螺面

，

之间存在保长对应. 

证明. 悬链面的第一基本形式为

       . 

正螺面的第一基本形式为

       .

对正螺面作参数变换，令. 则，参数变换是可允许的. 由于

，

正螺面的第一基本形式化为

.

根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为

.        □

p. 110 习题3.5

1. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由. 

(1) ；

(2) ；

(3) ；         (4) .

解. (1) .

所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()的切线面. 

(2) ，

其中是圆柱螺线，. 所以它是可展曲面. 

(3) 令

，.

则，直接计算得. 

当时，它是马鞍面，，所以不是可展曲面.

当或时，它是平面，所以是可展曲面.

当且时，它不是正则曲面.

(4) 令，. 则. 由于

，

它不是可展曲面.    □

2. 考虑双参数直线族，，其中是直线族的参数. 

(1) 求参数和之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；

(2) 确定相应的可展曲面的类型. 

解. (1) 对于固定的参数，该双参数直线族中的一条直线可以写成点向式：

.

设所求的函数关系为. 则得到一个单参数直线族，它们构成的直纹面的方程为

.

于是

是可展曲面，

其中是任意常数. 即所求的函数关系为.

(2) 此时的参数方程为，其中

，.

由于，不是柱面. 

如果是锥面，则有函数使得

，

其中为常向量. 于是

，

从而，是常数. 由此得，矛盾. 

因此是切线曲面. 事实上，记，其中. 则

.

取新的准线

. 

则

.

于是的参数方程为

，

其中是新的参数.   □

8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面. 

证明. 设正则曲线的弧长参数方程为，曲率和挠率分别为，Frenet标架为. 

它的主法线族生成的直纹面是. 因为

，

所以不是可展曲面. 

同理，由

可知它的次法线族生成的直纹面不是可展曲面.    □