2020-2021天津市高一数学下期末试题带答案

一、选择题

1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43

B ．10

C ．10

D ．8

2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）

A ．2

B ．422+

C ．442+

D ．2+ 3．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要

条件

4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）

174

176

176

176

178

儿子身高y （cm ）

175

175

176

177

177

则y 对x 的线性回归方程为

A ．y = x-1

B ．y = x+1

C ．y =88+

12

x D ．y = 176 5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若

3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）

A ．

48

π B ．

12

π

C ．12π

D ．3π

6．已知()20191

1,0

2log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩

，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得

()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）

B ．[-2,0)

C ．(]2,0-

D ．（0,1）

7．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫

⎛

⎫=+++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

单调递增，其图象关于直线4

x π

=

对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

单调递增，其图象关于直线2

x π

=

对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

单调递减，其图象关于直线4

x π

=对称 D ．()y f x =在0,

2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

单调递减，其图象关于直线2

x π

=

对称

8．函数2

ln ||y x x =+的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]

0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）

A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫

<<

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫

<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫

<<

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

10．已知二项式2(*)n

x n N x ⎛

∈ ⎝

的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰

5，则3x 的系数为（ ） A ．14

B ．14-

C ．240

D ．240-

11．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面

1ACC A 所成角的大小为（ ）

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =，60C =

二、填空题

13．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14

m x y

+≥恒成立的实数m 的范围是

__________

14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 15．()sin1013tan 70+=_____

16．若21cos 3

4πα⎛⎫-

= ⎪⎝

⎭

，则sin 26πα⎛

⎫+= ⎪⎝⎭________． 17．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.

18．等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________． 19．已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，

2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．

20．若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯”为向量的“外积”，其长度为

sin a b a b θ⨯=.若已知1a =，5b =，4a b ⋅=-，则a b ⨯= .

三、解答题

21．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ． （1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；

（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围， 22．已知不等式

的解集为

或

.

（1）求；（2）解关于的不等式

23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P

（34

55

--，

）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=

5

13

，求cos β的值． 24．a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；

（2）若3a =，17b =ABC ∆的面积.

25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9a a a a a +==.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log n

n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和n T . 26．设函数2

()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=+

+ ⎪⎝

⎭

． （1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；

（3）设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =

，124C f ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

，且C 为锐角，求

sin A ．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求2

2a b -的最小值即可得出结果.

【详解】

因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-，

所以||cos ,2b a b <>=-， 即2

||cos ,b a b =-

<>

，而1cos ,0a b -≤<><，

所以||2b ≥，

因为2

2

2

2

2

2

2(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+

22=14(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+

所以2

24844a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】

本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边

,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，

∴几何体的表面积1

2222262

S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】

本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

3．B

解析：B 【解析】

若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则

l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 4．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176，

代入回归方程验证可知，只有方程y =88+

1

2

x 成立，故选C 5．D

解析：D 【解析】 【分析】 先化简得23

B π

=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】

由题得222

222a b c b a c ab

+-⋅=+，

所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2

ac B ac =-∴=-, 所以23

B π=

.

,R R ∴= 所以ABC ∆

的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】

本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】

()20191

1,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩

，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .

【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

7．D

解析：D 【解析】

()sin(2)cos(2)2)22442

f x x x x x πππ

=+++=+=,

由02,x π<<得02

x π

<<

，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,2

2

k x k Z π

π

=

+

∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,

)2

π

单调递减,其图象关于直线2

x π

=

对称,故选D.

8．A

解析：A 【解析】 【分析】

先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。 【详解】

由题函数定义域为0x ≠，2

2

()()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，函数为偶函数，图像关于y 轴对称，B,C 选项不符合，当0x →时，y →-∞，则函数图像大致为A 选项所示. 故选：A 【点睛】

此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）

的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】

∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），

2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫

⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

,故选C. 【点睛】

本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

由二项展开式的通项公式为()

12r

n r

r r n

T C x -+⎛= ⎝

及展开式中第2项与第3项的二项

式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题

得解． 【详解】

二项展开式的第1r +项的通项公式为()

12r

n r

r

r n T C x -+⎛= ⎝

由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：1

2

:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()

()3662

16221r

r n r

r r

r r r n

T C x C x

---+⎛==- ⎝ 令3

632

r -

=，解得：2r ，

所以3x 的系数为()2

262

621240C --=

故选C 【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,

因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，

因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()2222

BO C O =-=

=+=， 所以1133

2tan 332

BO BC O OC ∠===

， 所以0

130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．

12．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】

对于A 选项，17

sin 722

a B =⨯

=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；

对于B 选项，sin 52

c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D.

【点睛】

本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.

二、填空题

13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94

m ≤

【解析】 【分析】

由题意将4x y +=代入

14

x y

+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】

由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则

14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y

=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94

， 不等式

14m x y +≥恒成立，9

4

m ∴≤． 故答案为9

4

m ≤． 【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．

14．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式

解析：1

n

-

【解析】

原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：

1

111n n S S +-= ，即

111

1n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n

n n S =-+--=- ，即1n S n

=-

. 【点睛】这类型题使用的公式是1

1{

n n n S a S S -=- 12

n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是

消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.

15．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析：1

【解析】 【分析】

tan 60，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10

cos 60cos 70

，利

用二倍角公式可变为1sin 20

2cos 60cos 70

⋅

，由sin 20cos70=可化简求得结果. 【详解】

()

()

cos 60cos 7060sin 70

sin1013tan70sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0

+=++⋅

=(

)cos 7060sin10cos10

1sin 201sin101cos60cos70

cos60cos702cos60cos702cos60

-=⋅

==⋅==

本题正确结果：1 【点睛】

本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.

16．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数 解析：

78

【解析】 【分析】

根据诱导公式,将三角函数式21

cos 3

4πα⎛⎫-= ⎪⎝

⎭化简可得1sin πα⎛⎫-= ⎪⎝

⎭,再由诱导公式及

余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛

⎫

+ ⎪⎝

⎭

即可得解. 【详解】 因为21cos 3

4

πα⎛⎫-

= ⎪⎝

⎭ 化简可得1cos 624ππα⎛

⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 2ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦ 由诱导公式化简得1sin

πα⎛

⎫

-

= ⎪⎝

⎭ 而sin 26πα⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭

cos 22

6π

πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭

cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛

⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

cos 26πα⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭

由余弦的二倍角公式可知cos 26πα⎛

⎫- ⎪⎝⎭

212sin 6πα⎛

⎫=-- ⎪⎝

⎭

2

17

1248

⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭

故答案为: 78

【点睛】

本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.

17．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱 解析：

92

π

设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ， 外接球直径为344279233,πππ3382

R a V R ====⨯=. 【考点】 球

【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.

18．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-

【解析】 【分析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()

1,3C ， 则：()2,0AB =，()

1,3BC =-，2AB BC ⋅=- 且2AB =，10BC =， 据此可知AB 在BC 方向上的投影为

2

12

AB BC AB

⋅-=

=-.

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命

解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】

根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或

1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.

【详解】

若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，

若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真， 则()2

4420a a ∆=--≥，

解得：2a ≤-或1a ≥，

若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =， 故答案为2a ≤-或1a = 【点睛】

解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.

20．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键

解析：3 【解析】 【分析】 【详解】

44

15

5a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-

⨯＝＝

＝＝3

3[0sin 15355

sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯，），＝，＝＝

故答案为3. 【点评】

本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，

三、解答题

21．（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,0

2,0

x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）（﹣1，0）

【解析】 【分析】

（1）根据题意，由函数的解析式，将x ＝0代入函数解析式即可得f （0）的值， 同理可得f （1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f （f （1））的值；

（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式分析f （﹣x ）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；

（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，作出函数f （x ）的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】

（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ； 则f （0）＝0， f （1）＝1﹣2＝﹣1，

又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1， 则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1； （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，

则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， 又由函数f （x ）为偶函数， 则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ， 则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，

∴()222,0

2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩

（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解， 则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点， 而y ＝f （x ）的图象如图：

分析可得﹣1＜m ＜0； 故m 的取值范围是（﹣1，0）． 【点睛】

本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．

22．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅． 【解析】 【分析】

（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值； （2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集． 【详解】

（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }， 所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；

由根与系数的关系，得，

解得a ＝1，b ＝2；

（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0， 即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；

①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅． 【点睛】

本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题． 23．（Ⅰ）4

5；（Ⅱ）5665- 或1665

. 【解析】 【分析】

分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】

详解：（Ⅰ）由角α的终边过点3

4,55P ⎛⎫--

⎪⎝⎭得4

sin 5

α=-，

所以()4sin πsin 5

αα+=-=

. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3

cos 5

α=-， 由()5sin 13αβ+=

得()12

cos 13

αβ+=±

. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，

所以56cos 65β=-

或16

cos 65

β=

. 点睛：三角函数求值的两种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

24．（1）1

cos 3

B =；（2）. 【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值；

（2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】

（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =， 又sin 0A >，所以

sin 3sin cos B

B B =，因为sin 0B >，所以1cos 3

B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则2

1

179233

c c =+-⨯⨯⨯， 整理得2280c c --=，0c >，解得4c =.

因为1cos 3B =

，所以sin 3

B ==，

所以ABC ∆的面积1

sin 2

S ac B == 【点睛】

本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）13n n

a = （2）21

n

n -+ 【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由2

3269a a a =，利用等比数列的通项公式化简

后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为

1

n

b 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{

1

n

b }的前n 项和 试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由2

3a ＝9a 2a 6得2

3a ＝92

4a ,所以q 2＝

19

． 由条件可知q ＞0,故q ＝

13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13

． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝1

3

n ．

（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()2

1n n +．

故

()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭

． 12

11

1

1111

122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++

=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎣⎦

所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为21n

n -+

考点：等比数列的通项公式；数列的求和 26．（1）π（2）减区间为ππk π,k π44⎡

⎤

-+⎢⎥⎣

⎦，k Z ∈（3【解析】 【分析】

()1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．

()2利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递减区间．

(

)3利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinA 的值．

【详解】

() 1函数

()2π11cos2x 1f x cos 2x sin x cos2x 3222-⎛

⎫=++=+=+ ⎪⎝

⎭，

故它的最小正周期为2ππ2

=．

()2对于函数()1f x 22=-

+，令ππ2k π2x 2k π22-≤≤+，求得ππk πx k π44

-≤≤+， 可得它的减区间为ππk π,k π44⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦

，k Z ∈．

()

3ABC 中，若1cosB 3=，sinB 3

∴==．

若C 11f 224⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，sinC ∴=，C 为锐角，πC 3∴=．

()ππ11sinA sin B C sinBcos

cosBsin 3332326∴=+=+=⋅+⋅=． 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．