经典均值不等式练习题

均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。

1. (1)若，则    (2)若，则        （当且仅当时取“=”）

2. (1)若，则    (2)若，则    （当且仅当时取“=”）

(3)若，则  (当且仅当时取“=”）

3. 均值不等式链：若都是正数，则，当且仅当时等号成立。

（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）

一、基本技巧

技巧1：凑项

例  已知，求函数的最大值。

技巧2：分离配凑

例  求的值域。

技巧3：利用函数单调性

例   求函数的值域。

技巧4：整体代换

例  已知，且，求的最小值。

典型例题

1. 若正实数X，Y  满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是       

2. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是(        )

A.0                B.1                C.2                    D. 4

3. 若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围为(        )

A.                B.                    C.                    D. 

4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则+的最小值是(        )

A.1            B.5                    C.4                    D.3+2 

5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是        .

6. 已知，且满足，则xy的最大值为         .

7. 设若的最小值为(   )

   A  8         B  4             C 1        D 

8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是  (    )

A.              B.               C.5             D.6

9. 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是       (写出所有正确命题的编号)．

①；        ②；    ③ ；   ④；    ⑤

10.设，则的最小值是（    ）

（A）1   （B）2   （C）3   （D）4

11.下列命题中正确的是

A、的最小值是2                   B、的最小值是2

 C、的最大值是    D、的最小值是

12. 若，则的最小值是______