2022年北京高考数学真题及答案

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集，集合，则（）

A．B．C．D．

2．若复数z满足，则（）

A．1    B．5    C．7    D．25

3．若直线是圆的一条对称轴，则（）

A．    B．    C．1    D．

4．已知函数，则对任意实数x，有（）

A．    B．

C．    D．

5．已知函数，则（）

A．在上单调递减      B．在上单调递增

C．在上单调递减          D．在上单调递增

6．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

8．若，则（）

A．40B．41C．D．

9．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（）

A．B．C．D．

10．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）

A．    B．    C．    D．

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数的定义域是_________．

12．已知双曲线的渐近线方程为，则__________．

13．若函数的一个零点为，则________；________．

14．设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．

15．已知数列的各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；②为等比数列；

③为递减数列；④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（本小题13分）

在中，．

（I）求；

（II）若，且的面积为，求的周长．

17．（本小题14分）

如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

（I）求证：平面；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题13分）

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互．

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

19．（本小题15分）

已知椭圆的一个顶点为，焦距为．

（I）求椭圆E的方程；

（II）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．

20．（本小题15分）

已知函数．

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）设，讨论函数在上的单调性；

（III）证明：对任意的，有．

21．（本小题15分）

已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．

（I）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；

（II）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；

（III）若为连续可表数列，且，求证：．

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学参

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. D2. B3. A4. C5. C6. C7.D8. B9. B10. D

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 

12. 

13. ①. 1②. 

14.  ①. 0（答案不唯一）    ②. 1

15.①③④

三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（1）

（2）

17.（1）取的中点为，连接，

由三棱柱可得四边形为平行四边形，

而，则，

而平面，平面，故平面，

而，则，同理可得平面，

而平面，

故平面平面，而平面，故平面，

（2）因为侧面为正方形，故，

而平面，平面平面，

平面平面，故平面，

因为，故平面，

因为平面，故，

若选①，则，而，，

故平面，而平面，故，

所以，而，，故平面，

故可建立如所示的空间直角坐标系，则，

故，

设平面的法向量为，

则，从而，取，则，

设直线与平面所成的角为，则

.

若选②，因，故平面，而平面，

故，而，故，

而，，故，

所以，故，

而，，故平面，

故可建立如所示的空间直角坐标系，则，

故，

设平面的法向量为，

则，从而，取，则，

设直线与平面所成的角为，则

.

18.（1）0.4（2）

（3）丙

19.（1）

（2）

20.（1）

（2）在上单调递增.

（3）解：原不等式等价于，

令，，

即证，

∵，

，

由（2）知在上单调递增，

∴，

∴

∴在上单调递增，又因为，

∴，所以命题得证.

21.（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．

（2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；

当时,数列，满足，，，，，，，，．

（3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，

若，则至多可表个数，矛盾,

从而若,则，至多可表个数，

而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为，

则所有数之和，，

，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，

（仅一种方式），

与2相邻，

若不在两端,则形式，

若，则（有2种结果相同，方式矛盾），

，同理，故在一端，不妨为形式，

若,则（有2种结果相同，矛盾），同理不行，

，则（有2种结果相同，矛盾），从而，

由于,由表法唯一知3,4不相邻,、

故只能，①或，②

这2种情形，

对①：，矛盾，

对②：，也矛盾，综上

．