论幂等矩阵线性组合的幂等性

摘要：

P1，P2和P3是三个任意可交换的非零幂等矩阵，c1,c2和c3是三个非零纯量，在线性组合方式P=c1P1+c2P2或P=c1P1+c2P2+c3P3中，这种线性组合的矩阵已经作为一种重要的矩阵被考虑。本文还提出了关于线性组合2×2幂等矩阵、3×3幂等矩阵幂等性的两个有趣的结果。文中还提到了关于等幂性问题的统计学分析。

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关键词:对角化；幂等矩阵；二次形式；χ2分布

1.前言

假设一个线性组合形式

P=c1P1+c2P2,             (1)

在这个线性组合形式中，P1、P2是n×n型非零幂等矩阵，c1、c2是纯量. 本文中将阐述其中的一些甚至所有以线性组合形式(1)为幂等矩阵的情况.例如，[1–6,8].现在假设另一个线性组合形式

P=c1P1+c2P2+c3P3,        (2)

在这个线性组合形式中, P1、P2和P3是三个任意可交换的n×n型非零幂等矩阵，c1、c2、c3是纯量。本文有两个写作目的：第一，为Baksalary的一部分新定理提供新的不同的证明。Baksalary 在文献【6】中讲述了关于线性组合形式(1)的幂等性.第二，彻底解决以线性形式(2)为幂等矩阵情况的表征问题.并且得出结论：(ⅰ)2×2任意可交换的非零幂等矩阵P1、P2、P3不满足PiPj=0,i≠j,i,j=1,2,3或P1P2=P1或P1P2=P2(ⅱ)如果P1、P2、P3是3×3任意可交换的非零幂等矩阵，那么，如果PiPj=0则P=I;如果PiPj=Pi或者PiPj=Pj ,i≠j,i,j=1,2,3则P1=I或P2=I或P3=I.

     不仅从代数学角度，而且从根、项量、多项式在统计学中所占的地位，证明都将引起人们很大的兴趣.有幂等矩阵的二次形式在统计学理论中应用广泛。例如：注释中提到的一些问题认为统计学的解释是基于这样的一个事实——如果A是一个n×n型实对称矩阵，x是n×1实项量，有多元正态分布N (0,I),其中I代表单位矩阵，0代表零矩阵，那么二次形式xAx作为一个卡方变量分布的充分必要条件是A2=A见：参考文献[3,定理 5.1.1] 或 [4, 引理9.1.2] 和[9, 2.4章].

2.初步措施

在复数ψ领域，我们用Mn表示所有n×n矩阵集.如果没有非奇异矩阵S∈Mn,那么矩阵B∈Mn，类似矩阵A∈Mn。因此B=S-1AS如果矩阵A∈Mn类似对角矩阵，那么A就被对角化了。如果有一个相似性矩阵S∈Mn，那么两个对角化矩阵A,B∈Mn。同时被对角化，即S-1AS和S-1BS是对角线。

    全文中，c1、c2、c3都是ψ中的非零因素P1,P2,P3∈Ƒ∈Mn ，P1,P2,P3∈Ƒ表示n×n非零幂等矩阵判别矩阵，例如，一个有限(或无限)矩阵组中，每对在集改判下乘法。

    现在我们给出以下附加结果，并解释这种情况对P1、P2∈Ƒ也适用 。

引理2.1.让P1、P2、P3∈Ƒ, P1≠P2，i≠j,且P∈Mn作为线性组合形式

P = c 1P1 +c2 P2 +c3 P 3,非零向量c1、c2、c3∈ψ那么P可以对角化.

证明.首先，幂等矩阵是可对角化的。因为P1、P2、P3有幂等性且相互可交换，它们可以同时对角化(见，[7,p.52]).所以有单相似性矩阵S满足Λ=SP1S-1, M=SP2S-1 ,T =SP3S-1都是对角化矩阵。另外对角元素是P1、P2、P3的特征值，于是我们可以得到

P1=SΛS-1, P2=SMS-1 , P3=STS-1  (3)

所以P=S[c1Λ+c2M+c3T]S-1

这就是完整的证明.

3.主要结论

正如我们提到的，本文主要结论是关于幂等矩阵线性组合的幂等性.首先我们讨论一个结论，这个结论能体现我们解决问题的方法，还要解决文献[6]中的一部分定理。接着，我们列出一个重要结论，是关于线性组合三非零，相互可交换幂等矩阵的幂等性的结论.

定理3.1. 让P1、P2∈Ƒ, P1≠P2且P作为线性组合形式

P = c 1P1 +c2 P2 , (4)

非零纯量c1、c2∈ψ那么只有在三种情况下P是幂等矩阵：

(a) c1= 1, c2 = 1, P1P2 = 0,

(b) c1= 1, c2 =-1, P1P2 = P2,

(c) c1 =-1, c2 =1, P1P2 = P1:

证明.因为P1、P2∈Ƒ，它们可以同时对角化。假设S是矩阵，同时对角化P1,P2，那么可以将P1，P2写成(3)的形式。因此得到,P=S∑S-1其中∑=c1Λ+c2M。所以直接数据表明形式(4)中的P是具有幂等性，当且仅当

(c1Λi+c2μi)(c1Λi+c2μi -1)=0，i=1,2，…，n， 

中Λi和μi分别是Λ和M的对角元素。另外P1,P2仅有0和I两个特征值，因为P1，P2具有幂等性。根据不同的假设，有不同的结论。情况(a)：从等式(3)可以得到，如果P1P2=0，那么(Λi，μi)最少可以是(0,0)，(1,0)和(0,1)因为至少可以给i赋值一次。因此当且仅当c1=1(即c2=1)时等式(5)成立。情况(b):假设P1≠P2，等式P1P2= P1和P1P2= P2不能同时发生。结果又得到了等式(3)。(Λi，μi)最少可以是(0,0)，(1,0)和(1,1)，因为如果P1P2=P2，则i至少赋值一次。因此当且仅当c1=1(即c2=-1)时等式(5)成立。情况(c)：若c1=-1(即c2=1)，如果P1P2=R，R≠Pi，i=1,2，那么(Λi，μi)最少可以是(0,0)，(1,0)，(0,1)和(1,1)因为i至少有一个值。但是等式(5)不存在共同的解。

证明完毕

定理3.2. 让P1、P2、P3∈Ƒ, P1≠P2，i≠j,且P作为线性组合形式

P = c 1P1 +c2 P2 +c3 P 3,

非零向量c1、c2、c3∈ψ那么在以下情况中P是幂等矩阵.

（a）c1=c2=c3=1，PiPj=0，i≠j，i，j=1,2,3；

（b）c1=c2=1，c3=-1，P1P2= P1，P1P3= P1，P2P3= P3

(亦或P1P2= P2，P1P3= P3，P2P3= P2)；

（c）c1=-1，c2=c3=1，P1P2= P1，P1P3= P1，P2P3= P3

(亦或P1P2= P2，P1P3= P3，P2P3= P2)；

（d）c1=c3=1，c2=-1，P1P2= P1，P1P3= P1，P2P3= P3

(亦或P1P2= P2，P1P3= P3，P2P3= P2)；

除此之外，向量P1,P2和P3不满足P1P2=P1, P1P3=P3和P2P3=P3

(亦或P1P2=P2, P1P3=P1和P2P3=P2)。

证明:

根据引理可以将P写成

P=S[c1Λ+c2M+c3T]S-1直接数据表明形式(6)中的P是具有幂等性，当且仅当

(c1Λi+c2μi+c3ti)(c1Λi+c2μi+c3ti-1)=0，i=1,2，…，n， 

其中Λi，μi 和ti分别是Λ，M和T的对角元素。在不是一般性的情况下，我们可以假设P1、P2、P3的多个特征值响应的连续出现在主要对角线Λ，M和T，中。

 从以上提到的等式(3)和假设中，可以发现如果PiPj=0，i≠j，i,j=1,2,3，那么(Λi，μi 和ti)可以是(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)和(1,0,0)。

因为i可以至少有一个值。因此，只有在以下情况中等式(7)成立：

(ⅰ)情况(b1)， (c1，c2，c3)=(1，1，-1)是等式(7)的解集(1,1,1)，(0,0,0)，(0,1,0)和(0,1,1)的共同的交集。

(ⅱ)情况(c1)，(c1,c2,c3)=(-1,1,1)是等式(7)的解集(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,0)和(0,0,0)的共同的交集。

(ⅲ)情况(d1)， (c1,c2,c3)=(1,-1,1)是等式(7)的解集(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,1)和(1,1,1)的共同的交集。

     最后，同理可证，矩阵P1、P2、P3不满足

P1 P 2= P 1，P1P3=P3和P2P3=P2，或者

P1P2=P2，P1P3=P1和P2P3=P3，

因为(0,0,0)和(1,1,1)没有共同的交集。这样就完成了证明。

备注1。当n=3，根据假设定理，有以下结论：

（a）如果P1P2=0，P1P3=0，P2P3=0(亦或P=P1+P2+P3具有幂等性)那么P=I。要理解这一结论，(借用引理)首先我们要知道：

Λ+Μ+Τ=I等价于P=P1+P2+P3=S(Λ+Μ+Τ)S-1=I。Λ、M和Τ(P1、P2和P3)的特征值分别是Λi,μi,和Τi，i=1,2,3。因为P1、P2、P3具有幂等性，则Λi=1或0；μi=1或0；Τi=1或0，若，P2=P则可以得到(Λi+μi+Τi)2=(Λi+μi+ Τi)那么(Λi+μi+Τi)=0或1。所以我们可以这样写：

其中Λi+μi+ti=0或1，i=1,2,3。

不失一般性的条件下，假设Λ1+μ1+Τ1=0。所以

(a1)如果Λ2+μ2+t2=0且Λ3+μ3+t3=0，那么Λ=Μ=Τ=0

推出P1=P2=P 3=0，这和假设定理相矛盾。

(a2)如果Λ2+μ2+t2=1 且Λ3+μ3+t3=1(或者Λ2+μ2+t2=0

且Λ3+μ3+t3=1，那么Λ=Μ=0推出P1=P2=0；

或者Λ=Τ=0推出P1=P3=0；或者Μ=Τ=0推出P2=P3=0，

这和假设定理矛盾。

(a3)如果Λ2+μ2+t2=1和Λ3+μ3+t3=1，那么至少，Λ= 0 推出P1=0;或者Μ=0推出P2=0;或者Τ=0推出P3=0，

这也和假设定理矛盾。因此，Λi+μi+ti= 1，i=1,2,3所以Λ+Μ+Τ=Ι。

(b1)如果P1 P 2= P1，P1P3=P3和P2P3=P3(P=P1+P2-P3具有幂等性)，那么P1=I。因此我们可以得到ΛΜ=Λ，ΛΤ=Λ，ΜΤ=Τ所以 (Λi,μi,ti)，i=1,2,3，的所有的可能解是(1,1,1)。(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,0)。一般情况下，(Λ1,μ1,t1)=(0,0,0,)。那么(Λ2,μ2,t2)和(Λ3,μ3,t3)可以是集合中的任意值，则有Λ=Μ推出P1=P2或Λ=Τ推出P1=P3或Μ=Τ推出P2=P3或者Λ=Μ=Τ推出P1=P2=P3，这与假设条件Pi≠Pj，i≠j相矛盾。所以(Λi,μi,ti)，i=1,2,3，可以是(1,1,1)。(0,1,1)，(0,1,0)中的任一值，所以Μ=Ι推出P2=Ι。

同理可证;

(b2)如果P1P2=P2，P1P3=P3，P2P3=P2(P=P1+P2-P3具有幂等性)，那么P1=I，

(c1)如果P1P2=P1，P1P3=P3，P2P3=P3(P=-P1+P2+P3具有幂等性)，那么P2=I，

(c2)如果P1P2=P2，P1P3=P1，P2P3=P2(P=-P1+P2+P3具有幂等性)，那么P3=I，

(d1)如果P1P2=P2，P1P3=P1，P2P3=P2(P=P1-P2+P3具有幂等性)，那么P3=I，

(d2)如果P1P2=P2，P1P3=P3，P2P3=P3(P=P1-P2+P3具有幂等性)，那么P1=I。

备注2经计算得到，2×2幂等矩阵的形式是或，

其中a,b∈ψ，ab=;或者是形式，其中x,y,z∈ψ， x2+yz=x且x≠。那么2×2型非零可交换幂等矩阵P1、P2、P3均不满足以下情况。

(a)PiPj=0，i≠j，j=1,2,3。

(b)P1P2=P1或者P1P2=P2。

根据幂等矩阵的特征值可以证明：

（a）不失一般性的情况下，我们可以得到：

(a1)

P1=；P2、P3是的矩阵，其中a,b∈ψ，ab=，或，

x,y,z∈ψ， x2+yz=x且x≠。

那么P1P2=P2≠0，P1P3=P3≠0，则与假设定理不符。

(a2)

P1=，P2=和P3=，其中a,b,c,d,e,f∈ψ，ab=，cd=，ef。由于P1P2=P2P1=0，P1P3=P3P1=0和P2P3=P3P2=0，

那么可以分别得到c=-a，d=-b，e=-a，f=-b，且c=-e，f=-d。

所以由P2=-P1，P3=-P1和P3=-P2可以得到P1=P2=P3=0，这与假设定理相矛盾。

(a3)

P1=，a,b∈ψ且ab=；P2= ，P3=，

其中x,y,z,p,r,s∈ψ，x2+yz=x，x≠，且p2+rs=p和p≠。

那么由P1P2=P2P1=0，P1P3=P3P1=0可以得到

(y+a-ax=y+ax=0所以x=因为a≠0)

(r+a-ap=r+ap=0所以p=因为a≠0)，这就变成了情况(a2)。

(a4)

P1=，P2=其中a,b,c,d∈ψ，ab=且cd=；P3= 

其中x,y,z∈ψ，x2+yz=x且x≠。那么从P1P3=P3P1=0可以得到y+a-ax=y+ax=0，所以x=，这又变成了情况(a2)。

(a5)

P1=，P2=和P3=,

其中x,y,z,p,r,s,u,v,w∈ψ，x2+yz=x，p2+rs=p，u2+vw=u，x≠，p≠和u≠。

由P1P2=P2P1=0，P1P3=P3P1=0，和P1P2=P2P1=0我们可以依次得到t=-y，s=-z，v=-y，w=-z和v=-r，w=-s所以得到y=0，z=0推出v=0，w=0，r=0，s=0，也就是说P1，P2和P3是对角线。那么由x2+yz=x， p2+rs=p和u2+vw=u可以得到x=0或1；p=0或1；u=0或1，所以任意选择x，p，u可以得到P1=P2=P3或P1=P2或P1=P3或P2=P3，每一种情况都和假设相矛盾。

（b）在不失一般性的情况下，我们可以得到：

(b1)

P1=，P2=其中 a,b,c,d∈ψ，ab=且cd=。

如果P1P2=P1(或P1P2=P2)，则c=a， d=b，所以P1=P2，与条件矛盾。

 (b2)

P1= 和P2=其中 a,b,c,d,z∈ψ，ab=，x2+yz=x 和

x≠由P1P2=P2P1可以得到x= (因为a≠0)。如果P1P2=P1则y+a-ax=a推出y=a，z+b-bx=ba推出z=b，所以P1=P2，这与已知矛盾。如果P1P2=P2，则y+a-ax=a推出y=a，z+b-bx=ba推出z=b，所以P1=P2，这与已知矛盾。

(b3)

P1=和P2=，其中a,b,c,d,z,p,r,s∈ψ，x2+yz=x，p2+rs=p，x≠，p≠，由P1P2=P2P1可以得到

()xp+ys=xp+zr推出ys=zr，

()xr+y-yp=yp+r-xr推出2(xr-yp)=r-y，

()zp+s-sx=sx+z-zp推出2(zp-sx)=z-s。

如果P1P2=P1那么xr+y-yp=y推出xr=yp和sx+z-zp。把这些带进(ⅱ)(ⅲ)可以得到r=y和s=z。所以由xr=yp推出()y=0或()x=p或(ⅲ)y=0和x=p。因为r=y，所以如果y=0，那么r=0。但是由假设定理我们可以得到x2=x和p2=p或x=0；1和p=0；1.。由P1P2=P1可以得到(1-x)(1-p)=1-x，xp=x。所以x=0推出p=0或者x=1推出p=1。所以p=x， P1=P2与假设相矛盾。如果P1P2=P1，可以得到同样的结果。

  最后，P1、P2、P3为1×1型矩阵的案例可以不必考虑。

在文章结尾部分，我们给出一些符合定理3。2(a)…(d)的3×3型幂等矩阵。矩阵

P1=，P2=，P3=，

符合(a)；矩阵

P1=，P2= ，P3=，

符合(b)的均采用；矩阵

P1=，P2= ，P3=，

符合(b)的均采用，矩阵

P1=，P2= ，P3=，

符合(c)的均采用，矩阵

P1=，P2= ，P3=，

符合(c)的均采用，矩阵

P1=，P2= ，P3=，

符合(d)的均采用，矩阵

P1=，P2= ，P3=，

符合(d)的均采用。

以上提到的矩阵也是备注1的例证。

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