(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测...

1．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ）

A．，    B．且

C．且    D．

2．已知，则代数式的值（    ）

A．4    B．9    C．－4    D．－8

3．若关于x的方程 有增根，则 a 的值为（    ）

A．1    B．3    C．4    D．5

4．分式方程的解为（  ）

A．    B．    C．    D．

5．下列各分式中是最简分式的是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程：=6，题中x表示的量为（    ）

A．实际每天铺设管道长度    B．实际施工天数

C．计划施工天数    D．计划每天铺设管道的长度

7．若关于x的方程无解，则m的值是（    ）

A．    B．2    C．    D．3

8．若关于x的方分式方程有非负整数解，且关于y的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的正整数m的和为（   ）

A．5    B．7    C．8    D．9

9．已知时，分式的值为．若取正整数，则的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

10．若，则的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

11．若分式有意义，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．取任意实数

12．小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，…，求两人每分钟各录入多少字？设小红每分钟录入x个字，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为（　　　）

A．两人每分钟录入字数的和是220字

B．所用时间相同，两人每分钟录入字数的和是220字

C．所用时间相同，小红每分钟录入字数比小丽多220字

D．所用时间相同，小丽每分钟录人字数比小红多200字

二、填空题

13．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为______．

14．若x2-x-1=0，则___．

15．当m=______时，解分式方程会出现增根．

16．已知，，______．

17．观察给定的分式，探索规律：

（1），，，，…其中第6个分式是__________；

（2），，，，…其中第6个分式是__________；

（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．

18．下列计算：①；②；③；④；⑤．其中运算正确的有______．（填序号即可）

19．如果分式的值为零，那么x＝________ ．

20．用科学记数法表示：-0.00000202=_______．

三、解答题

21．某制药厂生产一种创新型中药，该药对于治疗流感及新冠肺炎都有较好的疗效．该制药厂第一车间原来每天能生产该药品960箱，受疫情影响，曾经停工停产，在复工复产初期，该生产车间仍有6名工人没有报到．已到厂的工人积极生产，原来每天工作8小时，现在每天加班2小时，在每人每小时平均完成的工作量不变的情况下，该车间现在每天能生产该药品840箱．

（1）该制药厂第一车间原来有工人多少人？

（2）就这样加班生产已过10天，该制药车间接到加急任务：将复工后的21000箱药品供应武汉市，制药厂决定从其他制药车间抽调6名技术工人以填补未到岗工人的空缺，并且每天仍然加班生产2小时，那么该车间至少还需要生产多少天才能完成任务？

22．化简：．

23．先化简，再求值：，其中．

24．解方程

（1）        

（2）   

（3）                 

（4）

25．（1）计算： 

（2）化简：

（3）先化简，再求值：，其中，．

26．为预防新冠疫情的反弹，康源药店派采购员到厂家去购买了一批A、B两种品牌的医用外科口罩．已知每个B品牌口罩的进价比A品牌口罩的进价多0.7元，采购员用7200元购进A品牌口罩的数量为用5000元购进B品牌数量的2倍．

（1）求A、B两种品牌每个口罩的进价分别为多少元？

（2）若B品牌口罩的售价是A品牌口罩的售价的1.5倍，要使康源药店销售这批A、B两种品牌口單的利润为8800元，则它们的售价分别定为多少元？

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

先去分母得到整式方程m+3＝x﹣1，再由整式方程的解为非负数得到m+4≥0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到m+4≠1，然后求出不等式的公共部分得到m的取值范围．

【详解】

解：去分母得m+3＝x﹣1，

整理得x＝m+4，

因为关于x的分式方程1的解是非负数，

所以m+4≥0且m+4≠1，

解得m≥﹣4且m≠﹣3，

故选：B．

【点睛】

本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

2．A

解析：A

【分析】

由＝3，变形得y-x=3xy，然后整体代入代数式，计算化简，即可得到结论.

【详解】

解：由＝3，得=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，

则===4．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了分式化简求值，利用整体代入法是解决本题的关键．

3．A

解析：A

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x+3=0，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．

【详解】

解：分式方程去分母得：，

由分式方程有增根，得到x+3=0，即x=-3，

把x=-3代入整式方程得：，解得

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的增根，牢牢掌握增根的概念是解答本题的重难点．

4．C

解析：C

【分析】

首先分式两边同时乘以最简公分母去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验；

【详解】

两边同时乘以，

得： ，

解得：x=3，

检验：将x=3代入，

∴方程的解为x=3．

故选：C．

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验；

5．C

解析：C

【分析】

根据最简分式的定义即可求出答案．

【详解】

解：A、，故选项A不是最简分式，不符合题意；

B、，故选项B不是最简分式，不符合题意；

C、，是最简二次根式，符合题意；

D、，故选项D不是最简分式，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查最简分式，解的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．

6．D

解析：D

【分析】

根据计划所用时间-实际所用时间=6，可知方程中未知数x所表示的量．

【详解】

解：设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道，

根据题意，可列方程：，

所以小明所列方程中未知数所表示的量是计划每天铺设管道的长度，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是依据所给方程还原等量关系．

7．D

解析：D

【分析】

根据方程无解，得出方程有增根，利用增根的定义可求得x＝4，并把x＝4代入转化后的整式方程m＋1−x＝0，即可求出m的值．

【详解】

解：去分母得：m＋1−x＝0，

∵方程无解，

∴x＝4是方程的增根，

∴m＝3．

故选：D．

【点睛】

本题考查了分式方程无解问题，解题的关键是理解增根的定义，并能准确求出增根．

8．B

解析：B

【分析】

由题意根据分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数以及不等式组只有2个整数解，确定出符合条件m的值，求出它们的和即可．

【详解】

解：去分母得：，

解得：，

由解为非负整数解，得到且

解得：且，

不等式组整理得：，

由不等式组只有2个整数解，得到y=-2，-1，即，

解得：2≤m＜6，

综上：2＜m≤4

则符合题意m=3，4，它们的和为7．

故选：B．

【点睛】

本题考查分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．

9．C

解析：C

【分析】

先把化为，再根据条件和a的范围，即可得到答案．

【详解】

∵=，

又∵时，分式的值为，

∴，

∵取正整数，即a≥1，

∴，

∴，即m≥，

又∵，

∴，即m<2，

∴．

故选C．

【点睛】

本题主要考查分式的运算和化简，把原分式的分子化为常数，是解题的关键．

10．D

解析：D

【分析】

根据同分母分式的加法逆运算得到，将代入计算即可．

【详解】

解：∵，

∴1，

故选：D．

【点睛】

此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．

11．C

解析：C

【分析】

根据分式有意义的基本条件计算即可．

【详解】

∵分式有意义，

∴x-2≠0，

∴，

故选C．

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，熟记有意义的条件，熟练转化成不等式是解题的关键．

12．B

解析：B

【分析】

根据工作时间＝工作总量÷工作效率，从而得出正确答案．

【详解】

解：设小红每分钟录入x个字，则可得方程，根据此情景，题中用“…“表示的缺失的条件应补为所用时间相同，两人每分钟录入字数的和是220字，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．

二、填空题

13．且【分析】先解分式方程可得检验可得再由关于的分式方程的解是非负数列不等式解不等式从而可得答案【详解】解：去分母得：检验：关于的分式方程的解是非负数综上：且【点睛】本题考查的是分式方程的解与解分式方程

解析：且

【分析】

先解分式方程可得检验可得再由关于的分式方程的解是非负数，列不等式，解不等式，从而可得答案．

【详解】

解：

去分母得： 

检验： 

 关于的分式方程的解是非负数，

综上：且

【点睛】

本题考查的是分式方程的解与解分式方程，解一元一次不等式，掌握解分式方程一定要检验是解题的关键．

14．2【分析】把x2-x-1=0变形得x2-1=x然后对分式进行化简再代入求值【详解】∵x2-x-1=0∴x2-1=x∵故答案是：2【点睛】本题主要考查分式的化简求值掌握分式的减法运算是解题的关键

解析：2

【分析】

把x2-x-1=0变形得x2 -1=x，然后对分式进行化简，再代入求值．

【详解】

∵x2-x-1=0，

∴x2 -1=x，

∵，

故答案是：2．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的减法运算是解题的关键．

15．6【分析】分式方程的增根使分式中分母为0所以分式方程会出现增根只能是x=增根不符合原分式方程但是适合分式方程去分母后的整式方程于是将x=代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值【详解】解：由

解析：6

【分析】

分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程会出现增根只能是x=，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将x=代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．

【详解】

解：由题意知分式方程会出现增根是x=，

去分母得7-2x=m

将x=代入得m=6

即当m=6时，原分式方程会出现增根．

故答案为6．

【点睛】

本题考查了分式方程增根的性质，增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．

16．【分析】原式整理成再整体代入即可求解【详解】∵∴故答案为：【点睛】本题主要考查分式的加减法解题的关键是掌握分式的加减运算法则和完全平方公式

解析：

【分析】

原式整理成，再整体代入即可求解．

【详解】

∵，，

∴

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．

17．【分析】（1）分子是连续正整数分母是以x为底指数是连续正整数第六个分式的分子是6分母是x6（2）分子是以x为底指数是连续偶数分母是以y为底指数是连续奇数第奇数个分式符号是正第偶数个分式符号为负第六个

解析：            

【分析】

（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6

（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,

（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,

【详解】

解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，

（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，

（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是

【点睛】

本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键

18．②⑤【分析】根据负整数指数幂零指数幂同底数幂的除法法则进行计算逐个判断即可【详解】解：；故①计算错误；；②计算正确；；故③计算错误；；故④计算错误故⑤计算正确故答案为：②⑤【点睛】本题考查同底数幂的

解析：②⑤．

【分析】

根据负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的除法法则进行计算，逐个判断即可．

【详解】

解：；故①计算错误；

；②计算正确；

；故③计算错误；

；故④计算错误

，故⑤计算正确

故答案为：②⑤．

【点睛】

本题考查同底数幂的除法，积的乘方以及零指数幂，负整数指数幂的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键．

19．1【分析】根据分式的值为零可得解方程即可得【详解】由题意得：解得分式的分母不能为零解得符合题意故答案为：1【点睛】本题考查了分式的值为零正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键

解析：1

【分析】

根据分式的值为零可得，解方程即可得．

【详解】

由题意得：，

解得，

分式的分母不能为零，

，

解得，

符合题意，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了分式的值为零，正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键．

20．02×10-6【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解

解析：02×10-6

【分析】

绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

解：用科学记数法表示-0.00000202为 2.02×10-6．

故答案为：2.02×10-6．

【点睛】

本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

三、解答题

21．（1）该制药厂第一车间原来有工人20人；（2）至少还需要生产10.5天才能完成任务

【分析】

（1）设该制药厂第一车间原来有工人人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；

（2）设还需要生产y天才能完成任务．根据前面10天完成的工作量＋后面y天完成的工作量≥21000列出关于y的不等式，求解即可．

【详解】

解：（1）设该制药厂第一车间原来有工人人，根据题意，得

，

解得．

经检验，是原分式方程的解且符合题意．

答：该制药厂第一车间原来有工人20人．

（2）设还需要生产天才能完成任务．

当时，（箱），

即每人每小时生产该药物6箱．

由题意得，，

解得．

答：至少还需要生产10.5天才能完成任务．

【点睛】

本题考查分式方程及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．

22．

【分析】

先把括号内的进行通分，然后除以一个数等于乘以这个数的倒数，把分子分母因式分解后进行约分计算即可；

【详解】

 ；

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则；

23．，．

【分析】

原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除数分母利用完全平方公式分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．

【详解】

解：

＝•

＝，

当m＝9时，原式＝．

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

24．（1）；（2）；（3）无解；（4）

【分析】

（1）解分式方程，先去分母，将分式方程变形为整式方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后对结果进行检验确定原方程的解；

（2）解分式方程，先去分母，将分式方程变形为整式方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后对结果进行检验确定原方程的解；

（3）解分式方程，先去分母，将分式方程变形为整式方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后对结果进行检验确定原方程的解；

（4）解分式方程，先去分母，将分式方程变形为整式方程，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，最后对结果进行检验确定原方程的解；

【详解】

解：（1） 

整理，得：

方程两边同乘得：       

去括号，得：

移项，合并同类项，得：

系数化1，得：

经检验：是原方程的解

∴原分式方程的解为：

（2）   

整理，得：

方程两边同乘得：       

去括号，得：

移项，合并同类项，得：

系数化1，得：

经检验：是原方程的解

∴原分式方程的解为：

（3）                 

整理，得：

方程两边同乘得：       

移项，合并同类项，得：

系数化1，得：

经检验：是原方程的增根

∴原分式方程无解

（4）

方程两边同乘得：       

去括号，得：

移项，合并同类项，得：

系数化1，得：

经检验：是原方程的解

∴原分式方程的解为：

【点睛】

本题考查解分式方程，掌握解方程步骤，正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．

25．（1）0；（2）-x+1；（3），

【分析】

（1）根据负指数幂和零指数幂计算即可；

（2）根据分式的乘除化简即可；

（3）先根据整式乘法进行化简，在代入求值即可；

【详解】

解：（1） ，

=-8+9-1，

=0；

（2），

=，

=，

=；

（3），

=，

=，

=，

当，时，原式=12××+10×=．

【点睛】

本题主要考查了分式化简、整式化简求值、实数计算，准确计算是解题的关键．

26．（1）A、B两种品牌每个口罩的进价分别为每个元，元；（2）A、B两种品牌每个口罩的售价分别定为每个元，元．

【分析】

（1）设A种品牌每个口罩的进价为每个元，则种品牌每个口罩的进价为每个元，则可列方程，解方程并检验即可得到答案；

（2）设A品牌口罩的售价为每个元，则B品牌口罩的售价为每个元， 由（1）得：A品牌口罩的数量为个，品牌口罩的数量为个，再列方程 解方程可得答案．

【详解】

解：（1）设A种品牌每个口罩的进价为每个元，则种品牌每个口罩的进价为每个元，则

经检验：是原方程的根，且符合题意，

即A、B两种品牌每个口罩的进价分别为每个元，元．

（2）设A品牌口罩的售价为每个元，则B品牌口罩的售价为每个元， 

由（1）得：A品牌口罩的数量为个，品牌口罩的数量为个，

则 

答：A、B两种品牌每个口罩的售价分别定为每个元，元．

【点睛】

本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，掌握利用相等关系列方程解决实际问题是解题的关键．