开关电源反馈设计

除了磁元件设计以外，反馈网络设计也是开关电源了解最少、且非常麻烦的工作。它涉及到模拟电子技术、控制理论、测量和计算技术等相关问题。

开关电源环路设计的目标是要在输入电压和负载变动范围内，达到要求的输出（电压或电流）精度，同时在任何情况下应稳定工作。当负载或输入电压突变时，快速响应和较小的过冲。同时能够抑制低频脉动分量和开关纹波等等。

为了较好地了解反馈设计方法，首先复习模拟电路中频率特性、负反馈和运算放大器基本知识，然后以正激变换器为例，讨论反馈补偿设计基本方法。并介绍如何通过使用惠普网络分析仪HP3562A测试开环响应，再根据测试特性设计校正网络和验证设计结果。最后对仿真作相应介绍。

6.1频率响应

在电子电路中，不可避免存在电抗（电感和电容）元件，对于不同的频率，它们的阻抗随着频率变化而变化。经过它们的电信号不仅发生幅值的变化，而且还发生相位改变。我们把电路对不同频率正弦信号的输出与输入关系称为频率响应。

6.1.1频率响应基本概念

   (dB)  20log(G)

    60

     40                                       BW   

     20                         fL                                  fH

      0

                   100      101        102       103      104      105    f

                         (a)

    90°

      0°

                   100      101        102       103      104      105    f

   -90°

                             (b)

图6.1 波特图

电路的输出与输入比称为传递函数或增益。传递函数与频率的关系－即频率响应可以用下式表示

其中G(f)表示为传递函数的模（幅值）与频率的关系，称为幅频响应；而∠(f)表示输出信号与输入信号的相位差与频率的关系，称为相频响应。

典型的对数幅频响应如图6.1所示，图6.1(a)为幅频特性，它是画在以对数频率f为横坐标的单对数坐标上，纵轴增益用20logG(f)表示。图6.1(b)为相频特性，同样以对数频率f为横坐标的单对数坐标上，纵轴表示相角。两者一起称为波特图。

在幅频特性上，有一个增益基本不变的频率区间，而当频率高于某一频率或低于某一频率，增益都会下降。当高频增高时，当达到增益比恒定部分低3dB时的频率我们称为上限频率，或上限截止频率fH，大于截止频率的区域称为高频区；在低频降低时，当达到增益比恒定部分低3dB时的频率我们称为下限频率，或下限截止频率fL，低于下限截止频率的区域称为低频区；在高频截止频率与低频截止频率之间称为中频区。在这个区域内增益基本不变。同时定义

                                                                   （6-1）

为系统的带宽。

6.1.2基本电路的频率响应

1.高频响应

在高频区，影响系统（电路）的高频响应的电路如图6.2所示。以图6.2a为例，输出电压与输入电压之比随频率增高而下降，同时相位随之滞后。利用复变量s得到

                          （6-2）

对于实际频率，s=jω＝j2πf，并令

                                                                                （6-3）

就可以得到电路高频电压增益

           R                                        L

                              C                                        R

              (a )                                (b)

                   图6.2 高频响应

                                                          （6-4）

由此得到高频区增益的模（幅值）和相角与频率的关系

                                 （6-5）

对数幅频特性为

  （6-5a）

                                        （6-6）

幅频响应

        20logG(dB)

            10-2     10-1     100     101       102     103

    0                                                                     f/fH

-20

-40

                               (a)

  φ  10-2     10-1     100     101       102     103

   0                                                                       f/fH

-45

 -90

                               (b)

          图6.3  图2电路的高频波特图

1)当f<   dB

即增益为1,位于横坐标的一条水平线；

2)当f>>fH时

可见，对于对数频率坐标，上式为一斜线，斜率为－20dB/十倍频（－20dB/dec），与0dB直线在f=fH处相交，所以fH称为转折频率。当f=fH时， dB,即＝0.707。高频响应以0dB直线与-20dB/dec为渐近线，在转折频率处相差最大为－3dB。幅频特性如图6.3a所示。

当频率等于转折频率时，电容电抗正好等于电阻阻值。当频率继续增加时，电容C的阻抗以－20dB/dec减少，即频率增加10倍，容抗减少10倍，所以输出以－20dB衰减。

相频特性

相位与频率的关系（式（6.6））可以用以下方式作出：

1）当f<2）当f>>fH时， H→90°,得到一条H＝90°直线。

3）当f＝fH时， H＝45°。

当f＝0.1fH和f ＝10fH时, H分别为－5.7°和－84.3°,故可近似用斜率为斜线表示。相频特性如图6.3(b)所示。

由幅频和相频可以看到，当频率增加时，电路增益越来越小，相位滞后越来越大。当相位达到90°时，增益为0。幅频和相频特性都由上限频率fH决定。从式（6.3）可以看到，上限截止频率由电路的时间常数（RC）决定。如果图6.2b的时间常数L/R与图6.2a的时间常数RC相等，则图6.2b电路的波特图与图6.2a完全相同。

从图6.3可以看出，高频信号大大衰减，而低频信号得以保存。因此，这种电路也称为低通滤波器。

对于图6.2a电路，如果时间常数对研究的时间来说大的多，即电阻和电容数值很大，我们有

因为Uo=Uc，可以得到

                                                                            （6-7）

这是一个积分电路。可见，相同的电路对不同的研究目的表现出不同的功能。

2. 低频特性

我们来研究图6.4所示两个电路在低频区的特性。利用复变量s，由图6.4（a）可以得到

           C                                               R

    Ui                  R         Uo             Ui                L         Uo

          (a)                                                (b)

                   图6.4 低频响应

按照实际频率，，并令

                                                  （6-8）

得到

                           （6-9）

因此电路低频区的增益（模）和相角分别为

        20logG(dB)

            10-3     10-2     10-1     100       101     102

    0                                                                     f/fL

-20

-40

                               (a)

   90     

  45

            10-3     10-2     10-1     100     101       102    

     0                                                                        f/fL

                               (b)

          图6.5  图4电路的低频波特图

                           （6-10a）

                 (6-10b) 

                                      （16-11）

采用与高频响应相似直线近似的方法，可以画出低频响应的波特图，如图6.5所示。图中fL为下限频率，即低频转折频率。在转折频率以下，电路增益随频率下降而下降，特性斜率为20dB/dec。相位随频率降低超前输入相位。最大超前90°,这时增益为0（－∞dB）。

下限转折频率也与电路时间常数RC(L/R)有关,如果图6.4(a)与(b)时间常数相同，则它们的波特图也完全相同。

从图6.5还可以看到，电路对低频信号衰减；而高频信号由于容抗减少而顺利通过。因此这种电路也称为高通滤波器。

对于图6.4(a)电路的时间常数远远小于我们研究的时间间隔时，输出获得输入信号的变化部分，则

                                                  （6-12）

电路表现为一个微分电路。

                    L

         UI            C            RL  Uo

   图6.6  LC滤波电路频率特性

3.LC滤波电路特性

在开关电源中，正激类的输出滤波器（图6.6）是一个LC网络，并有负载电阻与输出电容并联，且负载电阻可以从某定值（满载）变化到无穷大（空载）。

对于图6电路我们同样可以用复变量得到

按照实际频率，并令

                                                                                         （6-13）

得到

                                                      （6-14）

 dB

                                                 D=10

  10                                           7

                                                  3

   0                                               2

 -10                                              1

                              0.5

 -20

                                0.25

 -30                                                        -40dB/dec

                                 0.1

 -40          

                       0.1             1.0            10            f/fc

                 (a)

-40

-80

-90

-100

                                                             D=0.1

                                20                             0.25

-140                         5

                                 2                1

-160

-180                                                                       f/fc

                            (b)

   图6.7  输出LC滤波器幅频(a)和相频(b)特性

电路的特征阻抗为，在f→f0很小范围内， ，令，于是增益幅频和相频特性分别为

              （6-15）

                                             （6-16）

由式（6-15）和（6-16）可以做出LC滤波电路的波特图，如图6.7所示。当f<>f0时，式（6-14）分母中第二项远远大于其余两项，感抗以20dB/dec增加，容抗以-20dB/dec减少，负载阻抗远远大于容抗，幅频特性－40dB/dec下降，趋于-180°。在f 接近f0时，不同的D值，幅值提升也不一样：D值越大，相当于轻载，电路欠阻尼，幅值提升幅度越高。随着负载加大，等效负载电阻减少，D值下降，提升峰值也减少；当D=1时，临界阻尼，由低频趋向f0时，只有很小的提升，并在f＝f0时，回到0dB，在f>f0后，增益逐渐趋向-40dB/dec。而当D<1时，即过阻尼，相当于满载或过载，在f→f0附近，幅值非但没有提升，而且随频率增加而衰减，大约在20倍f0以后衰减斜率达到-40dB/dec。

图6.7（b）示出了相移与规化频率（f/fc）和不同D之间的关系。可以看到，不管D值如何,输出与输入之间的相位差在转折频率f0处均为90°。而对于高欠阻尼滤波器（Ro> 5Zo），相频特性随频率迅速改变。对于Ro=5Zo，在频率1.5f0时，相移几乎达到170°。而在增益斜率为-20dB/dec的电路中，决不可能产生大于90°相移，而相频特性随频率的变化率远低于图6.7b的-90°/dec的相移变化率。

如果图6.6中输出电容具有ESR－等效串联电阻Resr，一般ESR很小,在低频段1/ωC<                          

此时，，相位提升45°。当频率继续升高，输出滤波电路变成LResr电路。LC滤波器在频率fesr之后从-40dB/dec转换为-20dB/dec衰减，相移趋向滞后90°,而不是180°。这就是说，电容的ESR提供一个零点。

6.1.3基本电路的时域响应

电路分析方法分稳态分析和瞬态分析。前面以正弦波为基本信号分析了电路的幅值和相位的频率响应，是稳态响应。这种方法称为频域分析法。

电路分析另一种方法是瞬态分析法。它是以阶跃信号为输入信号，研究电路输出随时间变化规律，称为阶跃响应。它是以波形的上升时间和平顶降落大小为评判标志。称为时域分析法。

1.阶跃信号

图6.8表示一个阶跃电压，可表示为

                                                                    （6-17）

可以看到，阶跃信号波形转换时变化率为无穷大，而在转换前和转换以后是一个不变化的常数。从频率分析的观点看，极快的变化率包含从直流到极高频率的谐波分量。电路输出能否重复输入信号的波形：输出的上升时间反映了电路的高频响应；而平顶降落反映了电路的低频响应。

2.单时间常数的阶跃响应

                            Ui

                                  t=0

        0

           R                                        L

                              C                                        R

              (a )                                (b)

                     图6.8 阶跃响应

我们来研究图6.2电路的阶跃响应，重画于图6.8。阶跃响应由上升时间tr和平顶降落δ表示。

上升时间tr

当阶跃信号加在图6.8(a)电路输入端，根据RC电路一般规律有

式中U0－初值；U∞－终值；τ＝RC－时间常数。

电容初始电压U0为零，得到

                                       (6-18)

          uo/Ui 

      1   

    0.9

    0.1

      0

                     tr                                                t

            t1                     t2

        图6.9 阶跃响应uo/UI与时间t的关系

式中τ＝L/R，Ui为阶跃信号平顶部分电压值。Uo/Ui与时间关系如图6.9所示。（RC电路三要素：初值、终值和时间常数。）输入在极短时间上升到终值，而输出电压随时间指数变化，要经过一段时间才达到终值，这种现象称为前沿失真。一般将输出终值的10%到终值的90%的时间间隔定义为上升时间tr。

由式（6-18）可见，当t＝t1时

      ，即

同理得到t＝t2时

因为

所以，上升时间为

电路的高频响应，可以得到

                                                    （6-19）

可见，上升时间与上限频率成反比，fH越高，上升时间tr就越小，前沿失真越小。例如某电路带宽1MHz，阶跃响应上升时间μs。

同样我们利用图6.4(a)来研究平顶降落。当阶跃输入时，可以得到输出为

uo与时间关系如图6.10所示。如果研究的时间tp<<τ，在此时间内虽然输入电压不变，但输出电压仍按指数规律下降，下降速度与时间常数有关。这种现象称为平顶降落。由于tp<<τ，可以近似得到

      uo

     Ui

                                                 δ

       0                                                           t

                           tp

                     图6.10 平顶降落

考虑到，于是得到

可见，平顶降落δ与下限频率fL成正比，fL越低，平顶降落越小。

在开关电源中，负载和输入电源电压突变也是阶跃响应。以上研究中，系统仍处于线性状态，但在开关电源中，有高增益放大器，在阶跃信号作用下，通常进入非线性状态，大信号响应往往低于小信号响应。

3.  LC电路阶跃响应

LC电路如图6.11所示。如果电路损耗电阻为零，电感初始电流和电容初始电压为零，在阶跃信号作用下，则有

                                                                 iL

                   iL                                     Im

                         L

                                                            0                                                                ωt  

                    UI                        uC       uC  

        uI                           C

                                                          UI  

                  (a)                                      0                                                                ωt  

                                                                                  π                 2π  （b）

                     图6.11 LC电路（a）的阶跃响应(b)

式中：

Ui为阶跃输入信号稳定电压；

LC电路的谐振角频率

       ；

谐振电路的特征阻抗

电感电流峰值为

不同的初始值、激励和电路条件，波形的幅值初始值和终值都不一样，但相位关系是固定的。

附注：复数概念

复数

一个复数由实部和虚部两个部分组成，即

                A=(Re)+j(Im)                                                 (F-1)

这里j＝。

因为一个复数用两个数组成，我们可以用x轴作为实数，y轴作为虚轴画出来，如附图1所示。重新画这个图为附图2,可以看到，复数可以用两个量表示：一个是到坐标（0,0）距离；而另一个是由实轴反时针到该点的夹角。数值r称为复数的模，夹角φ称为复数的幅角。

在电学中，我们要表达数值和相位自然就想到了使用复数。例如，表达一个正弦波电量，正弦量为坐标距离在虚轴上投影，余弦量为在实轴上投影，因此一个复数也可以表示为

                 (F-2)

根据欧拉公式

                                  j

                               Im

                                                        Re

           附图1  复数图示方法

                              Im

                                             r

                                                          Re

     附图2 复数用距离和角度表示

               和     

式（F-2）可解为

                                                                            （F-3）

或简化为

                                                                           （F-4）

可见，一个复数可用上述几种形式表示：式（F-2）为复数直角坐标式；式（F-3）为指数式；式（F-4）为极坐标式三者之间可以互相转换。复数加减可以用直角坐标式，乘除运算可以用指数式或极坐标式。

从式（F-3），（F-2）可见，如果90°,则有

可见任意相量乘以j，相位旋转90°:＋号逆时针旋转；－号顺时针旋转。如果在虚轴为j，乘以j后旋转到实轴变为－1,因此

所以是虚数 单位。

复函数

可以用一个复数去表达瞬时的幅值和相位，如果表达一个正弦电量，在电路中复数与频率有关。稳态设计时感兴趣的是两个方面：函数在什么参数为零？而在何时函数为无穷？这两种情况分别表示函数的零点和极点。

例：  

很明显，此函数在x=2时为零，即复数幅值为2,相位是0,实部2,而虚部0（附图1）。在x=3函数变成无穷。它的复数图象数值3和相位为0.

作为另一个例子我们立刻可以看到电容具有与频率有关的复数1/sC（s－复变量，与频率有关）；而感抗为sL。附图3示出了开关电源输出滤波器（电容有ESR，电感有线圈电阻，这里未考虑）。形成一个分压器，输出与输入比为

                                                 （F-5）

            sL

                        1/sC            

   附图3 电感和电容               附图4 LC谐振频率的极点

复数阻抗

±j/√LC

此函数不会为零，只是当sLC=-1，即s=±时，有两个极点。两个极点出现在谐振频率点，并且相角为90°和270°(是纯虚数，没有实部，如附图4所示)。

当然这里的物理意义是LC网络在此频率谐振，输出在此频率被无限放大。当然实际电路总是存在电阻，所以放大倍数不是无穷，即两个极点不是在虚轴上，实部不为零。

C和L的变换

对于电容电流有

如果我们，因此电压是正弦波[因为，这是相同的]，我们得到

则阻抗为

在定义拉氏变换中我们不必实际去求积分，因为在求解微分方程时积分是隐含的。相似的，我们可以求得电感阻抗

同样将U（s）用U代替，得到

则阻抗。