高中数学-圆的标准方程、圆的一般方程练习

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1.下列方程中表示圆的是(    )

A.x2+y2-2x+2y+2=0                   B.x2+y2-2xy+y+1=0

C.x2+2y2-2x+4y+3=0                  D.x2+y2+4x-6y+9=0

思路解析:题中的4个选项都是二元二次方程，一个二元二次方程是否表示圆，要判断它是否同时满足以下这三个条件：(1)x2、y2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;(2)没有xy项，即B=0;(3)D2+E2-4F＞0.根据这三个条件对每一个方程进行判断.因为选项A中D2+E2-4F=4+4-8=0，所以选项A不正确；因为选项B中有-2xy项，所以选项B也不正确；因为选项C中两个平方项的系数一个等于1，另一个等于2，不满足A=C的条件，所以选项C也不正确；选项D同时满足这三个条件，所以选项D是正确的.因此，选D.

答案：D

2.已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0表示圆,则k的取值范围是(    )

A.(-∞,-1)                           B.(3,+∞)

C.(-∞,-1)∪(3,+∞)                    D. 

思路解析:利用D2+E2-4F＞0就可求得k∈(-∞,-1)∪(3,+∞).

答案：C

3.已知圆C的方程为f(x，y)=0，点A(x0，y0)是圆外的一点，那么方程f(x，y)-f(x0，y0)=0表示的曲线是(    )

A.与圆C重合的圆                     B.过点A与圆C相交的圆

C.过点A且与圆C同心的圆             D.可能不是圆

思路解析:此题所给出的圆的方程是一个抽象的方程，实际上，我们只学习了两种圆的方程，完全可以分别用两种方程来分析这道题.这里还基于一个结论：圆外的点的坐标代入圆的方程后，方程就变成了不等式.因为点A(x0，y0)是圆外的一点，所以f(x0，y0)＞0，由方程f(x，y)-f(x0，y0)=0,得f(x，y)=f(x0，y0)，不妨设圆C的方程f(x，y)=0为方程(x-a)2+(y-b)2-r2=0，则方程f(x，y)=f(x0，y0)即为(x-a)2+(y-b)2=r2+f(x0，y0)，此方程表示的正是过点A且与圆C同心的圆.因此，选C.

答案：C

4.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为(    )

A.(x-2)2+y2=5                         B.x2+(y-2)2=5

C.(x+2)2+(y+2)2=5                     D.x2+(y+2)2=5

思路解析:求圆关于某点或直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于点或直线的对称点.求出圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0).

答案：A

5.设P(x，y)是曲线x2+(y+4)2=4上任意一点，则的最大值为(    )

A.+2        B. C.5              D.6

思路解析:此题的解题关键是要能从观察式子的特征中产生联想，即这个式子的几何意义是什么.

因为式子的几何意义是点P(x，y)与点(1，1)之间的距离，又因为P(x，y)是曲线x2+(y+4)2=4上任意一点，所以的最大值即为在圆x2+(y+4)2=4上求一点，使这个点到点(1，1)的距离最大.

如图2-3-(1,2)-4所示，|CB|即为所求，而|CB|=|CA|+|AB|，圆x2+(y+4)2=4的圆心坐标为A(0，-4)，半径为2，即|AB|=2，而|AC|=，所以|CB|=+2，即的最大值为+2.

因此，选A.

图2-3-(1,2)-4

答案：A

6.程x2+y2+x-2y+m=0表示圆时，m∈___________.

思路解析:如果方程x2+y2+x-2y+m=0表示圆，则D2+E2-4F＞0一定成立.根据这个条件可以把题意转化为不等式，从而求出m的取值范围.

因为方程x2+y2+x-2y+m=0表示圆，所以1+4-4m＞0，

解得m＜.所以m∈(-∞,).

答案：(-∞, )

7.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是_______________.

思路解析:直线与两坐标轴的交点是A、B，AB为圆的直径，即AB的中点为圆心，AB长的一半为圆的半径.

答案：(x-2)2+(y-)2=

8.已知圆M：(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1，直线l：y=kx，下面四个命题：

A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切

B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点

C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切

D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切

其中真命题的代号是____________.(写出所有真命题的代号)

思路解析:圆心坐标为(-cosθ，sinθ)，圆的半径为1，圆心到直线的距离为d==|sin(θ+φ)|≤1,

故选B、D.

答案：BD

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9.求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l：x+y-1=0相切于点(3,-2)的圆的方程.

思路分析:已知圆心在y=-4x上，所以可设圆心为(a,-4a)，利用圆心到直线l：x+y-1=0的距离等于圆心到点(3，-2)的距离等于半径，就可以求出圆的方程.

解：依题意,设圆心为(a,-4a),则其到直线x+y-1=0的距离及其到点(3，-2)的距离都等于半径的长度.应用两点间的距离公式及点到直线的距离公式,可得圆心到点(3，-2)的距离=,圆心到直线l的距离=，即得=，对这个式子两边平方并化简得a=1.于是容易计算得到此圆的圆心为(1,-4),半径长为22,于是得到此圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

10.求过点A(-1,3),B(4,2),且在x轴、y轴上的四个截距之和是14的圆的方程.

思路分析:本题所给的条件是过两个定点和截距三个条件，考虑到知道三点就可以求出圆的方程，所以考虑应用圆的一般式并结合根与系数的关系解决这个问题.

解：设圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，①

由题意可知

令①中的y=0，可得x2+Dx+F=0，圆在x轴上的截距之和为-D；

令①中的x=0，可得y2+Ey+F=0，圆在y轴上的截距之和为-E.

结合以上的方程组可以解得D=-4,E=-10,F=16.

所以我们得到此圆的方程为x2+y2-4x-10y+16=0.

11.设A、B两点是圆心都在直线3x-2y+5=0上的相交两圆的两个交点,且A的坐标是(-4,5),求点B的坐标.

思路分析:解本题要充分利用平面几何的知识.注意到两圆相交，则意味着两交点关于连心线对称,即B点应为点A关于直线3x-2y+5=0的对称点.

解：设B(x，y),因AB垂直于直线l：3x-2y+5=0，且A(-4，5)，故直线AB的方程为y-5=(x+4).

解方程组得交点P().

又由中点坐标公式得

.

解得x=.

∴B().

12.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.

(1)求的最大值和最小值;

(2)求x2+y2的最大值和最小值.

思路分析:方程x2+y2-4x+1=0表示圆心(2,0),半径为的圆;的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,x2+y2表示圆上一点到原点距离的平方,故可借助于平面几何知识,利用数形结合来求解.

解：(1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆.

设=k,即y=kx,当直线与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,此时有,解得k=±.

故的最大值为,最小值为-.

(2)x2+y2表示圆上一点到原点距离的平方,由平面几何知识知原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为2,故(x2+y2)max=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=(2-)2=7-4.