论广义积分的收敛性

分 类 号：       O172.2      

学 号：       1106212120       

类 别：         公开           

本科毕业论文（设计）

  题 目              论广义积分的收敛性             

（中、英文）           The Convergence of Improper integral    

作 者 姓 名       付  美        

专 业 名 称    数学与应用数学   

学 科 门 类       理  学        

指 导 教 师       杨衍婷        

提交论文时间    二〇一三年五月  

成绩等级评定                    

摘 要

广义积分主要包括：无穷限的广义积分、无界函数的广义积分以及含参变量的广义积分. 无界函数的广义积分又可称为瑕积分. 广义积分是定积分突破条件的一个推广. 定积分的的主要特点是积分区间是有界点集且被积函数在积分区间上有界，但这些条件不能解决实际中的有些问题，于是突破这两条的束缚便得到其推广形式即广义积分. 广义积分又称为非正常积分或反常积分. 大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件.本文就针对敛散性论述广义积分. 首先简述无穷限广义积分和无界函数广义积分的定义及性质；其次探讨两类广义积分的敛散性，讨论几种比较常用的判别方法和技巧，并举例说明验证；最后讨论含参变量的广义积分的一致收敛性和欧拉积分.

关键词：广义积分；收敛；发散；一致收敛性

Abstract

Improper integral mainly includes improper integral of infinite range, improper integral of unbounded function and improper integral of parameter. Improper integral of unbounded function can be called defect integral. Improper integral is a generalization of breaking out the constraints for definite integral. The mainly characteristics of the definite integral is that the integral region is bounded and integrand is bounded in the region, but some of these restrictions can’t solve the problem actually. So breaking through bondages of two limits can get the improper integral. Improper integral is also known as abnormal integral or improper integral. Most of improper integral cannot be calculated directly. Although some of them can able to compute its value, the calculation process is very troublesome. So judging the convergence of the improper integral becomes a decisive condition to evaluating improper integral. This article mainly discussion the convergence of the improper integral. At the first, the definition and properties of improper integral of infinite range and improper integral of unbounded function is discussed. Secondly, the divergence and convergence of the two improper integrals are studied. At the same time, several discriminant methods and techniques are given, with taking some examples for validation. The last, the uniform convergence of improper integral of parameter and Euler integral can be discussed.

Key words: Improper integral; Convergence; Divergence; Uniform convergence

目录

摘 要    I

Abstract    II

1引言    1

2无穷限广义积分    1

2.1无穷限广义积分的定义    1

2.2无穷限广义积分的性质    2

2.3无穷限广义积分敛散性的判别    3

2.3.1无穷限广义积分的定义判别法    3

2.3.2无穷限广义积分的比较判别法    4

2.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式    4

2.3.4无穷限广义积分的柯西判别法    5

2.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则    6

2.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法    7

2.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法    7

2.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法    8

3瑕积分    8

3.1瑕积分的定义    8

3.2瑕积分的性质    9

3.3瑕积分的敛散性判别法    10

3.3.1瑕积分的定义判别法    10

3.3.2瑕积分的比较判别法    10

3.3.3瑕积分的柯西收敛准则    11

3.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法    12

3.3.5瑕积分的狄利克雷判别法    12

3.3.6瑕积分的阿贝尔判别法    13

4含参变量的广义积分    13

4.1含参变量广义积分的定义    13

4.2含参变量广义积分的一致收敛性    13

4.2.1含参变量广义积分的柯西判别法    13

4.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法    14

4.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法    14

4.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法    14

5欧拉积分    16

5.1第一类欧拉积分（Beta函数）    16

5.2第二类欧拉积分（Gamma函数）    16

总结    17

参考文献    18

谢辞    19

1引言

无穷限广义积分积分（简称无穷积分）和无界函数广义积分（简称无界函数积分或瑕积分）统称为广义积分，广义积分又称非正常积分或者反常积分. 单从定积分可看出积分区域是有界的，被积函数在积分区域上是有界的. 积分，就不满足这两个条件，约束了定积分的应用，因此就要摆脱定积分在这两方面的，将定积分的概念加以推广，把积分区间有界拓展到无穷限区间积分和被积函数在积分区间上有界拓展到无界函数积分，即瑕积分，这就是广义积分或非正常积分（或反常积分）.

近几年，微积分的发展十分迅速，而广义积分是随着高等数学的发展而发展起来的近代数学，是高等数学中重要的一个概念，且作为数学中的一类基本命题，为其他学科解决了许多计算上的难题，广泛应用于各种问题，也对其发展起到了促进作用.广义积分在实际解决问题中有重要的作用，从而对广义积分敛散性的探讨就十分有必要了. 关于广义积分的敛散性的判别在很多文献中都有介绍，广义积分敛散性的判别方法与技巧也多种多样，本论文通过广义积分的定义及其性质来探讨它的敛散性，主要针对无穷限积分和无界函数积分的敛散性及含参变量广义积分的一致收敛性的判别方法进行探讨.

2无穷限广义积分

2.1无穷限广义积分的定义

前面学过了函数在有界区间上的定积分（黎曼函数）, 其积分区间有限,被积函数在积分区间上有界，但在实际问题的解决中把有界这一予以，推广到无穷限的积分区间和被积函数无界的积分，是目前我们还模糊的，这些统称为广义积分，广义积分又称为非正常积分（或反常积分）. 广义积分可分为无穷积分与瑕积分.

定义1 设函数在区间内，及对有定义，且在任何有限区间内可积，若积分在下有意义，当积分在时的无穷极限函数在区间无穷积分，记作.  若

则称无穷积分收敛，且值为.若不存在，则无穷积分发散.

类似可定义在区间上的无穷积分，，若的极限存在，则积分收敛，否则发散.

当时，在区间上都可积，则称为函数在上的无穷积分，且有（积分区间具有可加性），当积分都收敛时，可判定无穷积分收敛，否则发散.

2.2无穷限广义积分的性质

无穷限广义积分是否收敛取决于积分在时是否存在极限，从而根据函数极限和定积分的一些性质可推导出无穷积分的性质.

性质1 如果积分在收敛，则积分也收敛，且有.

性质2 如果积分均收敛，对，可推知积分的和也是收敛的，则由定积分的可加性可以得出：

.

性质3 如果积分均收敛，则积分也收敛，且有.

性质4 如果在区间上可积，且积分收敛，则积分必收敛，则成立不等式.

2.3无穷限广义积分敛散性的判别

2.3.1无穷限广义积分的定义判别法

可通过无穷限广义积分的定义及极限的方法判别无穷积分的敛散性，适用于无穷积分所对应的定积分且原函数较容易求出的类型.

例1 证明无穷积分收敛.

证明  因为（积分的可加性），设则有,则设, 从而可得, 故

可知积分均收敛于，所以得

，即积分收敛于.

例2 讨论无穷积分收敛性.

解  设,对于且，则有

，当时则可有

，综上可知，当时，积分收敛于，

当时，积分发散.

由例题可看出定义法判别积分的敛散性非常的简洁方便.

2.3.2无穷限广义积分的比较判别法

定理1 如果当时成立不等式，且在区间上可积，则由积分收敛性可推知积分的收敛性，即由积分的发散性可推知积分的发散性.

定理2 如果存在极限则在时由积分的收敛性可推知积分的收敛性，而时积分的发散性可推知积分的发散性 (在时两积分同时收敛或发散) .

2.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式

积分收敛的充分必要条件是积分在增大时保持有上界，有（为常数），若条件不满足，则积分有值.

定理3 如果在区间上可积，，且，则

时，积分同敛态； 时，积分收敛可知收敛； 时，由发散可知也发散.

定理4 对于非负的，如果存在，且，则积分收敛；若或，且，则积分发散.

例3 判别积分的收敛性.

解  当时，由积分收敛知积分也收敛.

例4 判别积分的收敛性.

解  因为，并且极限，

在这里，从而积分收敛，故积分收敛.

运用比较判别法不需求出积分所对应的定积分的函数形式，只需通过适当的放缩把所求的问题转移到一些简单的积分上或已知其收敛性的积分上，从而，放缩就成为计算的关键.

2.3.4无穷限广义积分的柯西判别法

定理5 设在区间上有定义，在区间可积，则当

，且时积分收敛；当，，且时积分发散.

定理6 设在区间上有定义，在区间上可积，且

, 则当,时，积分收敛；当,时，

积分发散.

例5 判别积分和积分的收敛性.

解  对有，由柯西判别法定理6知积分收敛. 因为, 根据柯西判别法定理6知, 积分发散.

2.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则

定理7 无穷积分收敛的充要条件是：对于，有，当时， (柯西收敛准则是研究数列函数敛散性的重要方法，同时也是研究无穷积分敛散性的重要方法) .

例6 设在上连续，则（其中）讨论积分的敛散性.

解  设对有，则

又则故，因为，则对有，当时，，且当时，由柯西收敛准则知收敛.

2.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法

定理8 如果无穷积分收敛，则无穷积分也收敛.

定义2 如果无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛.

定义3 如果无穷积分收敛，但不绝对收敛，称积分条件收敛.

定理9 积分关于单调递增，则积分收敛的充要条件是存在上界.

由定理可知，无穷积分绝对收敛，则积分必收敛，但收敛的无穷积分不一定绝对收敛.

例7 证明积分绝对收敛.

证  因为，所以, 故知积分收敛，再由定理8知积分绝对收敛.

2.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法

定理10 设函数在上连续，若（1）且；（2），使有则无穷积分收敛.

例8 证明积分收敛.

证明  当时有，则在上连续，对，在上可积. 又函数的导数在上是连续的，且则对有，根据狄利克雷判别法知积分收敛.

2.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法

定理11 设函数在上连续，若（1）收敛，（2）非负且，（3）有（其中）则可知无穷积分收敛.

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法判别两个函数相乘的无穷积分的敛散性，也是判别无穷积分是否是条件收敛的方法之一.

3瑕积分

3.1瑕积分的定义

定义4 设在区间上有定义，点的任意右邻域内无界，但在任何区间上有界可积，若极限存在，称极限为无界函数在区间上的广义积分，记作，且无界广义积分收敛于，若极限不存在，则无界广义积分发散. 被积函数在点附近是无界的，故点成为的瑕点，从而无界广义积分又称瑕积分.

类似的可定义瑕点为时的瑕积分，函数在区间上有定义，在的任意左邻域内无界，但在上可积则有，极限存在时积分收敛，极限不存在积分发散. 当函数的瑕点，在上有定义，在点的任意邻域内无界，但在上都是可积的，则有瑕积分

，当右边两个瑕积分同时收敛时，才可判定左边的瑕积分收敛. 若都是的瑕点，且在上可积，则

，当右边的两个瑕积分同时收敛时左边的瑕积分收敛.

3.2瑕积分的性质

瑕积分的理论与无穷积分的理论是平行的，从而得出瑕积分的性质：

性质1 设函数的瑕点同为，，当瑕积分

都收敛时，瑕积分必收敛，从而有

.

性质2 设函数的瑕点为，为任一常数，则瑕积分同敛态，有.

性质3 设的瑕点为，在的上可积，当收敛，积分收敛，则.

3.3瑕积分的敛散性判别法

因为瑕积分的敛散性与无穷积分的敛散性是平行的，则类比无穷积分的敛散性来讨论瑕积分的敛散性.

3.3.1瑕积分的定义判别法

用定义法可判别较简单的瑕积分，适用于瑕积分对应的定积分易于解出原函数的类型，简单快捷.

例9 判断瑕积分的敛散性.

解  由题可知被积函数的瑕点为，则由瑕积分的定义可得到

， 则当时，综上可知，当时积分收敛，当时，极限不存在，故积分发散.

3.3.2瑕积分的比较判别法

定理12 设函数在区间上有定义，瑕点同为，在

可积，且，当收敛，必定收敛.发散时必定发散.从而由定理可得出：

推论1 如果，，则（1），与同敛态. （2），由可知收敛. （3），由可知发散.

推论2 设函数在上有定义，瑕点为，在上可积，则（1），时知收敛. （2），时知发散.

推论3 设函数在上有定义，瑕点为，在上可积，若，则可得（1）时知收敛. （2）时知发散.

例10 证明瑕积分收敛，发散.

证明  瑕积分的瑕点为，由推论3知当时， 

，从而知瑕积分收敛. 又瑕积分的瑕点为，当时，，从而瑕积分发散.

运用比较法讨论瑕积分的敛散性时，要进行适当的放缩，而熟悉公式后问题就变得相对简单了.

3.3.3瑕积分的柯西收敛准则

定理13 瑕积分瑕点收敛的充要条件是：，当时，有.

例11 证明积分收敛，发散.

证明  易知积分在被积函数的区间上是连续的，且瑕点为，取，对当时，， ，由柯西收敛准则知瑕积分收敛. 知瑕积分的被积函数在上连续，瑕点为，对当时，因为，则，从而，即，故由柯西收敛准则知瑕积分发散.

柯西收敛准则与定义法比较起来判别积分敛散性时稍复杂些. 柯西收敛准则主要研究的是数列.

3.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法

定理14 积分收敛时称瑕积分绝对收敛，收敛但不绝对收敛的瑕积分称条件收敛.

瑕积分的收敛与绝对收敛是同理相通的.

3.3.5瑕积分的狄利克雷判别法

定理15 设函数在区间上连续，若：（1）且，（2）使对一切有，则瑕积分收敛.

3.3.6瑕积分的阿贝尔判别法

定理16 设函数在上连续，若：（1）收敛，（2）（非负），（3），使对一切有则瑕积分收敛.

狄利克雷判别法、阿贝尔判别法判别两个函数相乘时积分的敛散性，也是判别瑕积分收敛的方法.

4含参变量的广义积分

4.1含参变量广义积分的定义

定义5 二元函数在区域上有意义，，无穷积分收敛，积分中的参变量的函数可表示为，称无穷积分为含参变量的无穷积分.

定义6 如果给定的如何小，且，当时，有则积分在上一致收敛.

4.2含参变量广义积分的一致收敛性

4.2.1含参变量广义积分的柯西判别法

定理17 无穷积分在区间上一致收敛的充要条件：，，当时有.

关于广义积分的一致收敛性，与函数级数的情况类似.

4.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法

定理18 设函数在上连续，函数在上连续，且，如果积分收敛，则含参变量广义积分对一致收敛.

对于条件收敛积分的一致收敛性有狄利克雷和阿贝尔判别法.

4.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法

定理19 设函数在上连续，如果对，函数关于单调，当时，函数对一致收敛于0；部分积分对一致有界，即，使，则积分对一致收敛.

4.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法

定理20 设函数在上连续，如果对每一个取定的，函数关于单调，且如果有积分对一致收敛，则对一致收敛.

例12 设函数在上连续，积分一致收敛，部分积分对一致有界，即，使，求积分一致收敛.

解  对，有，又可得，从而得

则对，当时，则可以得到对当时有. 所以由柯西收敛准则知，积分一致收敛.

例13 证明积分一致收敛.

证明  

因为积分对于一致收敛（由维尔斯特拉斯判别法判定），则积分一致收敛.

例14 证明积分一致收敛.

证明  ，作变元替换，有

从而因为积分对一致收敛（狄利克雷判别法判定）积分一致收敛.

例15 设函数在区间上连续且可积，求.

解  对于取定的一点，函数关于单调，从而有，又知积分是收敛的，则由阿贝尔判别法可以知道积分

对一致收敛，从而函数在连续，则，即.

5欧拉积分

5.1第一类欧拉积分（Beta函数）

.

例16 证明.

证明 令则

，可知-函数对于和是对称的.

5.2第二类欧拉积分（Gamma函数）

.

例17 证明.

证明  使用第二类欧拉积分并且运用分部积分法证明，由题得

.

-函数与-函数的关系：.

上述两个非初等函数的收敛性是由含参变量的积分来确定的，其应用已遍及数学、物理、化学等多门学科.

总结

本论文根据广义积分即非正常积分（或反常积分）的定义与性质，探讨了广义积分的敛散性及判断敛散性的的方法与技巧，举例使判断方法和计算技巧更直观易懂. 从本论文的讨论知，广义积分敛散性的判别方法有定义法、比较判别法及其极限形式、柯西判别法、绝对收敛及条件收敛判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，准确运用判别法可以使我们更快更简单的判别广义积分的敛散性，以提高计算的速率，快速解决实际中的积分问题.

数学的研究是无止尽的，广义积分敛散性的判别方法与技巧也会有更进一步的推广与研究，因此我们应该不断努力，加强学习研究，更多的深入研究这些方法，体会到数学之美，更好的融入数学的世界中.

参考文献

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[20]王永安.广义积分:定积分在极限思想下的自然延伸[J].西安教育学院学报,2004,19(03):72-74.

谢辞

本论文从选题到搜集查阅资料文献，从撰写提纲到正文的修改过程中得到了杨衍婷老师的认真指导和热心帮助，她为人热情，认真负责，帮我整理论文写作思路并给予我查找资料的方法和渠道，对我论文中存在的问题精心指导. 随着论文的成稿，也使我也有了成就的感动.

论文从选题、定题、查阅资料、整理材料、撰写提纲、初稿的完成、论文的修改、定稿，杨老师始终给予我耐心的指导与帮助，因为有了老师们的鼓励与帮助，才使我的毕业论文顺利完成，在这里我深深的感谢杨衍婷老师. 最后感谢在我的大学生活中给我教授课程的所有老师，是老师让学习到了丰富的知识，让我了解知识的力量，让我学会了做事与做为人.

由于本人水平有限，若有不足和缺漏之处恳请批评指正.