等差数列专题

一、等差数列知识点回顾与技巧点拨

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.

3．等差中项

如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝.

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，

则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.

(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；

若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．

5．等差数列的前n项和公式

若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

7．最值问题

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．

 一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①

Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②

①＋②得：Sn＝.

 两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….

(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法

等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；

(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；

(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；

(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.

注：　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

回顾：

1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（　　）

题型1：已知等差数列的某些项，求某项

【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法

【例1】已知为等差数列，，则          

解：方法1：

方法2：，

方法3：令，则

方法4：为等差数列，

也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项.

方法5：为等差数列，三点共线

对应练习：1、已知为等差数列，（互不相等），求.

2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.

题型2：已知前项和及其某项，求项数.

【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数； 

⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.

【例2】已知为等差数列的前项和，，求

解：设等差数列的首项为，公差为，则

对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.

4.已知为等差数列的前项和，，则       .

题型3：求等差数列的前n项和

【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.

（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.

【例3】已知为等差数列的前项和，.

             （1） ；  

⑵求；

⑶求.

解：，

当时，，

当时，，

当时，，  .

由，得，当时，；当时，.

（1）；

⑵

                    ；

（3）时，，

                     当时，

对应练习：5、已知为等差数列的前项和，，求.

考点2 ：证明数列是等差数列

【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：

1、定义法：（，是常数）是等差数列；

                       2、中项法：()是等差数列；

3、通项公式法：（是常数）是等差数列；

4、项和公式法：（是常数，）是等差数列.

【例4】已知为等差数列的前项和，.

求证：数列是等差数列.

解：方法1：设等差数列的公差为，，

（常数）

数列是等差数列.

方法2：，

，

，

数列是等差数列.

对应练习：6、设为数列的前项和，，

               （1）  常数的值；

              （2） 证：数列是等差数列.

考点3 :等差数列的性质

【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.

【例5】1、已知为等差数列的前项和，，则           ；

2、知为等差数列的前项和，，则         .

解：1、；

2、方法1：令，则

.

，，

；

方法2：不妨设 

.

，

；

方法3：是等差数列，为等差数列

三点共线.

.

对应练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（     ）

8.设、分别是等差数列、的前项和，，则      .

  考点4： 等差数列与其它知识的综合

【解题思路】1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；

2、求出后，判断的单调性.

【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，

，其前项和为

1数列、的通项公式；

                ⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.

解：⑴，

当时，；

                  当时，

                  当时，，；

，是等差数列，设其公差为.

则，

.

2

，是单调递增数列.

当时，

对都成立

所求最大正整数的值为.

对应练习：9.已知为数列的前项和，，.

1数列的通项公式；

⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.

课后练习：

1.(2010广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则

A．         B．           C．         D．

2.在等差数列中，，则           .

3.数列中，，当数列的前项和取得最小值时，      . 

4.已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是      .  

5.设数列中，，则通项      . 

6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第项是   .

答案与解析：

对应练习：1、【解析】

2、【解析】设这个数分别为则

解得

当时，这个数分别为：；

当时，这个数分别为：

3、【解析】

4、【解析】设等差数列的公差为，则

.

5、【解析】方法1：设等差数列的公差为，则

；

方法2：

6、【解析】⑴，，

⑵由⑴知：，

当时，，

，数列是等差数列.

7、【解析】（本两小题有多种解法）

，.选B.

8、【解析】 填.

9、【解析】⑴当时，

，且，是以为公差的等差数列，其首项为.

当时，

当时，，；

2，得或，

             当时，恒成立，所求最小的正整数

课后练习：1、【解析】C．

另法：由，，得，，计算知

          2、【解析】  

          3、【解析】  由知是等差数列， 

4、【解析】 已知两式相减，得 

5、【解析】  利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.

6、【解析】