2002年春季高考数学试题(上海)及简解

一、填空题（4′×12＝48′）

1．函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　　。

2．若椭圆的两个焦点坐标为F1(-1,0),F2(5,0)，长轴的长为10，则椭圆的方程为　　　　　　　。

3．若全集I=R,f(x)、g(x)均为x的二次函数，P={x|f(x)<0},Q={x|g(x)≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为　　　　　　　　　。

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f(x)=log3(1+x)，则f(-2)=            。

5．若在的展开式中，第4项是常数项，则n=           。

6．已知f(x)=，若，则f(cosα)+f(-cosα)可化简为　　　　　　　　　　　。

7．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是　　　　　　　　　。

8．设曲线C1和C2的方程分别为F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，则点P(a,b) C1∩C2的一个充分条件为　　　　　　　　　　　。

9．若f(x)=2sinωx (0<ω<1)在区间[0,]上的最大值是，则ω=              。

10．右图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方形中相互异面的有        对。

11．如右图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮。已知AB＝BC＝50海里，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点　　　海里。（结果精确到小数点后1位）

12．如图，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为　　　　　　　　　　　　　　。

二、选择题(4′×4＝16′)

13．若为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是

（A）（B）

（C）   （D）

14．在⊿ABC中，若2cosBsinA=sinC，则⊿ABC的形状一定是

（A）等腰直角三角形（B）直角三角形　（C）等腰三角形　（D）等边三角形

15．设a>0,a≠1,函数y=logax的反函数和y=的反函数的图象关于

（A）x轴对称　　　（B）y轴对称　　　（C）y=x对称　　（D）原点对称

16．设{an}(n∈N)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论错误的是

（A）d＜0　　　　（B）a7=0　　　　（C）S9>S8　　　　（D）S6与S7均为Sn的最大值

三、解答题(12′+12′+14′+14′+16′+18′=86′)

17．已知z、ω为复数，(1+3i)z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，求ω。

18．已知F1、F2为双曲线(a>0,b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程。

19．如图，三棱柱OAB－O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求（1）二面角O1－AB－O的大小；（2）异面直线A1B与AO1

所成角的大小。（上述结果用反三角函数值表示）

20．已知函数f(x)=ax+ (a>1)

（1）证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数；

（2）用反证法证明f(x)=0没有负数根。

21．某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。

（1）设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明）

（2）证明：ak>ak+1 (k=1,2,3,…n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义

（3）发展基金与n和b有关，记为Pn(b)，对常数b，当n变化时，求

22．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1) (a≠0)

(1)当a=1,b= -2时，求函数f(x)的不动点；

(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

(3)在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值。

2002年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参及评分标准

二、填空题（4′×12＝48′）

1．(-3.1)  　　2．　　3．　　4．－1　　5．18　　6．2cscα

7．1／20　　　8．F1(a,b)≠0或F2(a,b)≠0或PC1等　　9．3／4　10．3　　11．40.8

12． 

三、填空题（4′×4＝16′）

13．D　　14．C　　15．B　　16．C

四、解答题(12′+12′+14′+14′+16′+18′=86′)

17．ω=±(7-i)

18． 

19．①arctg；②arccos

20．略

21．（1）

（2）ak-ak+1>0此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。

（3）

22．（1）当a=1,b=-2时，f(x)的两个不动点为－1、3；（2）（0，1）；（3）bmin=

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