12章 习题答案

图12-6

    例题12-1  有一半径为r的均匀刚性导体圆环，其总电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场中以匀角速度  (方向如图12-6所示)绕通过中心并处于圆面内的轴线旋转，该轴线垂直于B 。试求当圆环平面转至与B平行的瞬间：

    (1)   ab和 ac (其中a点是圆环与转轴的交点，ac是四分之一圆周，b是ac的中点)；

    (2) 比较此时a和c两点的电势、a和b两点的电势。

    解  

    (1)  在环的a、b之间任意一点P附近取元段dl，dl的方向沿环的切向，v   B的方向与转轴平行并指向下方，如图12-6中虚线箭头所示。故有

             ,

因为, ，代入上式，得

                .

用同样的方法可以得到

                  .

积分所得皆为正值，这表示积分方向就是动生电动势的方向。所以，如果把导体环的ab段和ac段看作电源内部，那么a端是电源的负极，b端和c端是电源的正极。

    从这里我们得到一个重要的启示：如果得到的电动势为负号，表示电动势的极性与积分方向相反，如果得到的电动势为正号，表示电动势的极性与积分方向相同。我们曾经对电源电动势的极性作出过这样的规定：沿电源内部、从负极到正极的方向是电源的正方向。

    (2)  根据动生电动势的方向，可以判断导体环中电流是沿顺时针方向的，电流的大小为

                        .

所以

                 ,

这表示a、c两点等电势。

                      ,  

这表示a点的电势高于b点的电势。

    例题12-2  一无限长的同轴电缆是由两个半径分别为R1和R2的同轴圆筒状导体构成，其间充满磁导率为  的磁介质，在内、外圆筒状导体中通有方向相反的电流I 。求单位长度电缆的磁场能量和自感系数。

     解  对于这样的同轴电缆来说，磁场只存在于两圆筒状导体之间的磁介质内，由安培环路定理可求得磁场强度的大小为

                            .

而在r < R1和r > R2的区域，磁场强度为零。所以磁场能量也只储存在两圆筒导体之间的磁介质中。磁场能量密度为

                       .

现在我们来计算一段单位长度的电缆所储存的磁场能量：

                   ,

                  .         

    计算自感系数通常有三种方法：

    (1)  利用自感系数的定义式，求自感系数；

    因为，所以自感系数为

                             ;           

    (2)  通过电路的自感电动势，求自感系数；

    因为自感电动势表示为，所以自感系数为

                            .

    (3)  通过电路所储存的自感磁能(即磁场能量)，求自感系数。

    因为，所以自感系数可以表示为

                     .

    在我们的问题中，只能采用第三种求自感系数的方法。单位长度电缆所储存的磁场能量为Wm，所以单位长度电缆的自感系数为

                         .

可见，自感系数只决定于电路自身的结构、几何性质以及所充磁介质的磁导率。

[习题解答]

图12-7

    12-7  在磁感应强度大小为B = 0.50 T的匀强磁场中，有一长度为l = 1.5 m的导体棒垂直于磁场方向放置，如图12-7所示。如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度v向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。若棒的运动速率v = 4.0 m s 1 ，试求： 

    (1)  导体棒内的非静电性电场K；

    (2)  导体棒内的静电场E；

    (3)  导体棒内的动生电动势 的大小和方向；

    (4)  导体棒两端的电势差。

    解  

    (1)  根据动生电动势的表达式

                              ,

由于()的方向沿棒向上，所以上式的积分可取沿棒向上的方向，也就是dl的方向取沿棒向上的方向。于是可得

                                .

另外，动生电动势可以用非静电性电场表示为

                            .

以上两式联立可解得导体棒内的非静电性电场，为

                          ,

方向沿棒由下向上。

    (2)  在不形成电流的情况下，导体棒内的静电场与非静电性电场相平衡，即

                                 ,

所以，E的方向沿棒由上向下，大小为

                              .

    (3)  上面已经得到

                           ,

方向沿棒由下向上。

    (4)  上述导体棒就相当于一个外电路不通的电源，所以导体棒两端的电势差就等于棒的动生电动势，即

                              ,

棒的上端为正，下端为负。

图12-8

    12-8  如图12-8所表示，处于匀强磁场中的导体回路ABCD，其边AB可以滑动。若磁感应强度的大小为B = 0.5 T，电阻为R = 0.2  ，AB 边长为 l = 0.5 m，AB边向右平移的速率为v = 4 m s 1 ，求：

    (1)  作用于AB边上的外力；

    (2)  外力所消耗的功率；

     (3)  感应电流消耗在电阻R上的功率。

    解  

    (1)  当将AB向右拉动时，AB中会有电流通过，流向为从B到A。AB中一旦出现电流，就将受到安培力F的作用，安培力的方向为由右向左。所以，要使AB向右移动，必须对AB施加由左向右的力的作用，这就是外力F外 。

    在被拉动时，AB中产生的动生电动势为

                         ,

电流为

                              .

AB所受安培力的大小为

                   ,

安培力的方向为由右向左。外力的大小为

                              ,

外力的方向为由左向右。

    (2)  外力所消耗的功率为

                      .

    (3)  感应电流消耗在电阻R上的功率为

                    .

可见，外力对电路消耗的能量全部以热能的方式释放出来。

    12-9  有一半径为r的金属圆环，电阻为R，置于磁感应强度为B的匀强磁场中。初始时刻环面与B垂直，后将圆环以匀角速度  绕通过环心并处于环面内的轴线旋转   / 2。求：

    (1)  在旋转过程中环内通过的电量；

    (2)  环中的电流；

    (3)  外力所作的功。

    解  

    (1)  在旋转过程中环内通过的电量为

                  .

    (2)  根据题意，环中的磁通量可以表示为

                               ,

故感应电动势为

                          .

所以，环中的电流为

                    .

    (3)  外力所作的功，就是外力矩所作的功。在圆环作匀角速转动时，外力矩的大小与磁力矩的大小相等，故力矩为

                    ,

式中 是环的磁矩m与磁场B之间的夹角。在从  = 0的位置转到  =   /2的位置，外力矩克服磁力矩所作的功为

     .

    此题也可以用另一种方法求解。外力矩作的功应等于圆环电阻上消耗的能量，故有

   .

与上面的结果一致。

    12-10  一螺绕环的平均半径为r = 10 cm，截面积为S = 5.0 cm2 ，环上均匀地绕有两个线圈，它们的总匝数分别为N 1 = 1000匝和N 2 = 500 匝。求两个线圈的互感。

    解  在第一个线圈N1中通以电流I1，在环中产生的磁场为

                          .

该磁场在第二个线圈N2中产生的磁通量为

                         .

所以两个线圈的互感为

                   .

    12-11  在长为60 cm、半径为2.0 cm的圆纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为6.0 10 3 H的线圈？

    解  设所绕线圈的匝数为N，若在线圈中通以电流I，则圆筒内的磁感应强度为

                              .

由此在线圈自身引起的磁通量为

                           ,

所以线圈的自感为

                             ,

由此解得线圈的匝数为

图12-9

           .

    12-12  一螺绕环的平均半径为r = 1.2 10 2 m，截面积为S = 5.6 10 4 m2 ，线圈匝数为N = 1500 匝，求螺绕环的自感。

    解  此螺绕环的示意图表示于图12-9中。在线圈中通以电流I，环中的磁感应强度为

             ,

该磁场引起线圈的磁通量为

                                                             .

所以螺绕环的自感为

                        .

    12-13  若两组线圈绕在同一圆柱上，其中任一线圈产生的磁感应线全部并均等地通过另一线圈的每一匝。两线圈的自感分别为L1 和L2 ，证明两线圈的互感可以表示为

                               .

    解   题意所表示的情形，是一种无漏磁的理想耦合的情形。在这种情形下，可以得到两个线圈的自感分别为

                              ,

                               .

用类似的方法可以得到它们的互感为

                              .

比较以上三式，可以得出

                               .

    12-14  一无限长直导线，其圆形横截面上电流密度均匀。若通过的电流为I，导线材料的磁导率为 ，证明每单位长度导线内所储存的磁能为

                               .

    解  因为电流在导线横截面上分布均匀，所以可以把电流密度的大小表示为

                                .

在导线的横截面上任取一半径为r ( < R ) 的同心圆形环路，并运用安培环路定理，得

                              ,

即

                               ,  

                               .

图12-10

导体内的磁感应强度为

　　　       .

H和B的方向可根据电流的流向用右手定则确定。

    导线内的磁场能量密度为

           .

    在导线内取一长度为1、半径为r、厚度为dr的同心圆筒，图12-10是其横截面的示意图。圆筒薄层内的磁场能量为

        ,

导线单位长度的磁场能量为

                   .

证毕。

    12-15  一铜片放于磁场中，若将铜片从磁场中拉出或将铜片向磁场中推进，铜片将受到一种阻力的作用。试解释这种阻力的来源。

    解  这种阻力来自磁场对铜片内产生的涡流的作用。

    12-18  证明平行板电容器中的位移电流可以表示为

,

图12-11

式中C是电容器的电容，V是两极板间的电势差。如果不是平行板电容器，而是其他形状的电容器，上式适用否？

    解  电容器中的位移电流，显然是在电容器被充电或放电时才存在的。设电容器在被充电或放电时，极板上的自由电荷为q，极板间的电位移矢量为D，则根据定义，位移电流可以表示为

,

或者

                             .

根据电容器形状的对称性，作高斯面刚好将电容器的正极板包围在其内部，并且高斯面的一部分处于电容器极板之间，如图12-11所示。这样，上式可化为

             .

证毕。

    在上面的证明中，虽然图12-11是对平行板电容器画的，但是证明过程并未涉及电容器的具体形状，并且对所作高斯面的要求，对于其他形状的电容器都是可以办到的。所以，上面的结果对于其他形状的电容器也是适用的。

    12-19  由两个半径为R的圆形金属板组成的真空电容器，正以电流I充电，充电导线是长直导线。求：

    (1)  电容器中的位移电流；

    (2)  极板间磁感应强度的分布。

    解  

    (1)  设极板上的电荷为q，则充电电流为

                                  .

极板间的电场强度为

                                 .

位移电流密度为

                         ,

位移电流为

                             .

这表示位移电流与充电电流相等。

    (2)  在极板间、与板面平行的平面上作半径为r的圆形环路L，其圆心处于两金属板中心连线上，并运用安培环路定理，得

                .

因为磁场以金属圆板中心连线为轴对称，所以上式可以化为

                           .

由上式解得

                 .

    当时，即在极板间、板的边缘附近，有

                               .

    12-20  现有一功率为200 W的点光源，在真空中向各方向均匀地辐射电磁波，试求：

    (1)  在离该点光源25 m处电场强度和磁场强度的峰值；

    (2)  对离该点光源25 m处与波线相垂直的理想反射面的光压。

    解  

    (1)  尽管由点光源发出的光波是球面波，但在距离光源25 m处的很小波面可近似看为平面，故可作为平面简谐波处理。波平均能流密度可以表示为

                             ,

另外，电场矢量与磁场矢量的峰值成比例

                              .

以上两式联立求解，可以解得

                       ,

                    .

    (2)  对理想反射面的光压可以表示为

                       .

    12-21  太阳每分钟垂直照射在地球表面每平方厘米上的能量约为8.4 J ，试求：

    (1)  到达地面上的阳光中，电场强度和磁场强度的峰值；

    (2)  阳光对地面上理想反射面的光压。

    解  

    (1)  根据已知条件，太阳光射到地球表面上的能流密度为

                .

根据公式

                      ,

可以求得电矢量的峰值，为

                       .

磁矢量的峰值为

                          ,

或者

                           .

    (2)  阳光对理想反射面的光压

                       .