同济大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题

1．f(x)是周期为2的函数，在区间[1,1]上，f(x)|x|，则___(m为整数)．

2．函数ycos2x2cosx,x∈[0,2]的单调区间是__________________．

3．函数的值域是__________________．

4．

5．函数y＝f(x)，f(x+1)f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y____________．

6．

7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________．

8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投影，则M点坐标是_________，CN与DM所成角是_________．

9．双曲线x2y2＝1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积___________．

10．椭圆在第一象限上一点P(x0,y0)，若过P的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________．

二、解答题

11．不等式对于任意x∈R都成立，求k的取值范围．

12．不动点，．(1),3为不动点，求a,b,c的关系；(2) 若，求f(x)的解析式；(3)

13．已知，(1) 求y的最小值；(2) 求取得最小值时的．

14．正三棱柱ABC－A1B1C1，|AA1|h，|BB1|a，点E从A1出发沿棱A1A运动，后沿AD运动，∠A1D1E，求过EB1C1的平面截三棱柱所得的截面面积S与的函数关系式．

15．已知数列{an}满足．

(1) 若bn＝anan1(n=2,3,…)，

求bn；(2) 求；(3) 求．

16．抛物线y2＝2px，(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求|AB|．(2) 是否存在正方形ABCD，使C在抛物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？